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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Nilpotente, auflösbare und polyzyklische Gruppen - Kommutatoren, abgeleitete Reihe, Zentralreihen

Aufsteigende und absteigende Zentralreihe; nilpotente Gruppen

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Sei $ G$ eine Gruppe.
a)
Man setze für $ i \in \mathbb{N}$

$\displaystyle L_i(G):=[L_{i-1}(G),G] \textrm{ mit } L_1(G)=G. $

b)
Es sei $ Z_0(G) =1$ und für $ i \in \mathbb{N}$ sei $ Z_i(G)$ definiert als das volle Urbild von $ Z(G \, / \, Z_{i-1}(G))$ unter der Quotientenabbildung

$\displaystyle \kappa_i: \ G \rightarrow G \,/ \,Z_{i-1}(G). $

Man schreibt dafür auch

$\displaystyle Z_i(G) \, / \, Z_{i-1}(G)=Z(G \, / \, Z_{i-1}(G)). $

Man beachte hierbei, dass das volle Urbild eines Normalteilers wiederum ein Normalteiler ist. Es gilt dann

$\displaystyle Z_i(G) \geq Z_{i-1}(G). $

Die Reihe

$\displaystyle 1=Z_0(G) \leq Z_1(G) \leq \ldots \leq \ldots Z_k(G) \leq \ldots $

nennt man die aufsteigende Zentralreihe von $ G$.

Bemerkung: Man kann das folgende Resultat zeigen:

$\displaystyle L_{c+1}(G)=1 \ \Longleftrightarrow \ Z_c(G)=G $

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  automatisch erstellt am 14.11.2008