Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Kompositionsfaktoren und -reihen-Sub-, Normal- und charakteristische Reihen-Ketten von Untergruppen; Hauptfaktoren und Kompositionsfaktoren

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kompositionsfaktoren und -reihen - Sub-, Normal- und charakteristische Reihen
	Ketten von Untergruppen; Hauptfaktoren und Kompositionsfaktoren

Es sei

eine Gruppe und

$\displaystyle {\cal K} : 1 = K_0 \lneqq K_1 \lneqq \ldots \lneqq K_n = G$

eine endliche Kette von Untergruppen, die bei

beginnt und bei

endet.

a)

$\cal K$ nennt man Normalreihe, wenn gilt:

$\displaystyle \forall i : \ K_i \unlhd G.$
$\cal K$ nennt man charakteristische Reihe, wenn gilt

$\displaystyle \forall i : \ K_i \textrm{ char } G.$
$\cal K$ nennt man Subnormalreihe, wenn gilt:

$\displaystyle \forall i : \ K_i \lhd K_{i+1}.$
In manchen Büchern werden Subnormalreihen auch Normalreihen genannt. Normalreihen, die aus lauter Normalteilern von bestehen, müssen dann gekennzeichnet werden, wie z.B. durch die Bezeichnung - Normalreihe.

b)

$\cal K$ nennt man verfeinerbar, wenn für einen Index eine Untergruppe existiert mit

$\displaystyle K_i \lneqq K \lneqq K_{i+1} .$
$\cal K$ nennt man verfeinerbar als Normalreihe, wenn obiges zusätzlich normal in ist.
$\cal K$ nennt man verfeinerbar als Subnormalreihe, wenn zuätzlich $K_i \lhd K \lhd K_{i+1}$ gilt.

c)

Eine Normalreihe, die als Normalreihe nicht mehr verfeinerbar ist, nennt man Hauptreihe.
Eine Subnormalreihe, die als Subnormalreihe nicht mehr verfeinerbar ist, nennt man Kompositionsreihe.

d)

Ist $\cal K$ eine Hauptreihe, so nennt man $K_i \, / \, K_{i+1}$ einen Hauptfaktor.
Ein Hauptfaktor ist stets das direkte Produkt ein und derselben einfachen Gruppe.
Ist $\cal K$ eine Kompositionsreihe, so nennt man $K_i \, / \, K_{i+1}$ einen Kompositionsfaktor.
Ein Kompositionsfaktor ist stets eine einfache Gruppe.

e)

Zwei Reihen

$\displaystyle {\cal K} : 1 = K_0 \lneqq K_1 \lneqq \ldots \lneqq K_n = G$

und

$\displaystyle {\cal L} : 1 = L_0 \lneqq L_1 \lneqq \ldots \lneqq L_m = G$

heißen isomorph, wenn

ist und wenn es eine Permutation $\pi$ der Indices von

gibt mit

$\displaystyle L_{\pi(i)} \, / \, L_{\pi(i)+1} \cong K_i \, / \, K_{i+1} \textrm{ f''ur alle } i$

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

automatisch erstellt am 14.11.2008