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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kompositionsfaktoren und -reihen - Sub-, Normal- und charakteristische Reihen

Bemerkungen zu Haupt- und Kompositionsreihen

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a)
Zunächst stellt sich die Frage nach der Existenz von Haupt- und Kompositionsfaktoren.

In diesem Fall interessiert es dann, wie eindeutig die Haupt- und Kompositionsreihen, bzw. die Haupt- und Kompositionsfaktoren sind.

b)
Die abgeleitete Reihe, sowie die auf- und absteigende Zentralreihe sind charakteristische Reihen.
Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann lassen sich leicht einige wichtige Aussagen ableitet:
c)
$ G$ ist genau dann auflösbar, wenn alle Kompositionsfaktoren zyklisch von Primzahlordnung sind.
d)
Ist $ G$ nilpotent, dann sind alle Hauptfaktoren zyklisch von Primzahlordnung.

Die Umkehrung gilt i.A. nicht.

e)
Ist $ G$ auflösbar aber nicht nilpotent, dann kann es Hauptfaktoren geben, die nicht zyklisch und nicht von Primzahlordnung sind.
f)
Gruppen mit Max und Min besitzen eine Kompositions- bzw. Hauptreihe.

ad a)
$ G=( \mathbb{Z} , +)=C_{\infty}$. Da $ G$ abelsch ist, ist jede endliche Kette von Untergruppen eine Subnormal- bzw. Normalreihe. Ist

$\displaystyle {\cal K} : \ 1 \, \lhd \, n \, \mathbb{Z} \, \lhd \, \ldots \, \lhd \, \mathbb{Z} $

eine solche Reihe, dann ist

$\displaystyle {\cal \tilde{K}}: \ 1 \, \lhd \, (k\cdot n) \, \mathbb{Z} \, \lhd \, n \, \mathbb{Z}\, \lhd \, \ldots \, \lhd \, \mathbb{Z} $

für jedes $ 2 \leq k \in \mathbb{N}$ eine Verfeinerung von $ \cal K$. Es gibt also keine Kompositions- bzw. Hauptreihe.
ad d)
$ G=S_3$, dann ist

$\displaystyle 1\, \lhd \, A_3 \cong C_3 \, \lhd \, S_3$

eine Hauptreihe mit Hauptfaktoren $ C_3$ und $ C_2$. $ G$ ist aber nicht nilpotent.
ad e)
$ G=S_4$, dann ist

$\displaystyle 1\, \lhd \, C_2 \times C_2 \, \lhd \, A_4 \, \lhd \, S_4$

eine Hauptreihe mit Hauptfaktoren $ C_2 \times C_2, \ C_3$ und $ C_2$. $ G$ ist zwar auflösbar, aber nicht nilpotent.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008