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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe

Zusammenhang bei Matrizen

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Es sei $ K = \mathbb{R}$ oder $ \mathbb{C}\hspace{0.1cm}$ und $ \hspace{0.1cm} \emptyset \neq {\cal M} \subseteq Mat(n,K)$. Ein Weg in $ \cal M$ ist eine stetige Abbildung

$\displaystyle \gamma : [0,1] \rightarrow \cal M. $

Man nennt $ \gamma$(0) den Anfangspunkt, $ \gamma$(1) den Endpunkt von $ \gamma$.

$ X,Y \in \cal M $ heißen verbindbar, wenn es einen Weg $ \gamma$ in $ \cal M$ gibt mit Anfangspunkt $ X$ und Endpunkt $ Y$.

Man kann auf $ \cal M$ eine Äquivalenzrelation $ \sim$ definieren durch $ \hspace{1cm} X \sim Y \hspace{0.5cm}\Leftrightarrow\hspace{0.5cm} X \hspace{0.15cm} \hspace{0.15cm}$ ist mit $ \hspace{0.15cm} Y \hspace{0.15cm}$ in $ \hspace{0.15cm} {\cal M} \hspace{0.15cm}$ verbindbar.

Die Äquivalenzklassen von $ \sim$ heissen Zusammenhangskomponenten von $ \cal M$.
$ \cal M$ heisst zusammenhängend, wenn es nur eine Zusammenhangskomponente gibt.
Die Zusammenhangskomponente, die das Einselement enthält, wird Einskomponente genannt.

(Autor: Borgart)
Reflexivität:
Für jedes $ X \in {\cal M}\hspace{0.1cm}$ ist $ \hspace{0.1cm}\gamma(t) := X$ mit $ t \in [0,1]$ ein Weg in $ \cal M$, der $ X$ mit sich selbst verbindet.

Symmetrie:
Ist $ \gamma$ ein Weg von $ X$ nach $ Y$, so ist

$\displaystyle \tilde{\gamma}(t) = \gamma(1-t) \hspace{0.6cm} (t \in [0,1])$

offensichtlich ein Weg von $ Y$ nach $ X$.

Transitivität:
Wird $ X$ mit $ Y\hspace{0.1cm}$ und $ \hspace{0.1cm}Y$ mit $ Z$ durch die Wege $ \gamma\hspace{0.1cm}$ bzw. $ \hspace{0.1cm}\delta$ in $ \cal M$ verbunden, so ist der ,,zusammengesetzte`` Weg von $ X$ nach $ Z$ definiert durch

$\displaystyle \gamma \circ \delta(t) = \left\{ \begin{array}{r@{\quad:\quad}r} ... ...0, \frac{1}{2}], \\ \delta(2t-1) & t \in [\frac{1}{2}, 1]. \end{array} \right.$

(Autor: Borgart )
  1. $ Mat(n,K)$ ist zusammenhängend, denn 0 ist mit jedem $ X \in Mat(n,K)$ durch die Gerade $ t \mapsto tX$, $ t \in$[0,1] verbindbar.

  2. Für $ n$ = 1 folgt aus (1), dass $ \mathbb{R}$ und $ \mathbb{C}$ zusammenhängend sind.

  3. $ \mathbb{C}^{\times}$ ist ebenso zusammenhängend:
    Ist $ z \in \mathbb{C}$ und $ z = re^{i\phi}$, $ r$>0, die Darstellung von $ z$ durch die Polarkoordinaten, so erhält man einen Weg in $ \mathbb{C}$ von 1 nach $ z$ durch

    $\displaystyle \gamma(t) = (1+t(r-1))e^{it\phi}.$

  4. $ \mathbb{R}^{\times}$ ist nicht zusammenhängend, denn es gibt keinen Weg in $ \mathbb{R}^{\times}$ von -1 nach 1. Wäre z. B. $ \gamma$ eine stetige Abbildung mit $ \gamma$(0) = -1 und $ \gamma$(1) = 1, so müsste es nach dem Zwischenwertsazt ein $ t \in$ [0,1] geben mit $ \gamma(t)$ = 0. Die Zusammenhangskomponenten von $ \mathbb{R}^{\times}$ sind $ \mathbb{R}^{\times}_{+}$ und $ \mathbb{R}^{\times}_{-}$.
(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008