Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Klassische Matrixgruppen-Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe-Zusammenhang von GL(n,K) und SL(n,K)

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe
	Zusammenhang von GL(n,K) und SL(n,K)

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$SL(n,\mathbb{R})$ , $SL(n,\mathbb{C})$ , $GL(n,\mathbb{C})$ sind zusammenhängend.
$GL(n,\mathbb{R})$ ist nicht zusammenhängend, die Zusammenhangskomponenten sind

$\displaystyle GL(n,\mathbb{R})^{+} = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid detA > 0 \},$

$\displaystyle GL(n,\mathbb{R})^{-} = \{A \in GL(n,\mathbb{R}) \mid detA < 0 \}.$
$GL(n,\mathbb{R})^{+}$ ist die Einskomponente von $GL(n,\mathbb{R})$ .
Sei , die Einskomponente. Dann gilt:
- $\tilde G$ ist Normalteiler von ,
- Die Zusammenhangskomponenten von sind die Nebenklassen von $\tilde G$ .

(Autor: Borgart)

wird durch die Elementarmatrizen $F_{ij}(\alpha), \hspace{0.2cm} 1 \leq i,j \leq n, \hspace{0.2cm}$ $\alpha \in K$ erzeugt. Es genügt also jede dieser Matrizen durch einen Weg in

mit $E_{n} = F_{ij}(0)$ zu verbinden. Ein solcher Weg ist offensichtlich

$\displaystyle t \mapsto F_{ij}((1- t)\alpha), \hspace{0.3cm} t \in [0,1].$

Für jede Matrix $A \in GL(n,\mathbb{C})$ gibt es eine Matrix $B \in SL(n,\mathbb{C})$ und ein $\alpha \in \mathbb{C}^{\times}$ , so dass

$\displaystyle A = B \cdot F_{n}(\alpha) \hspace{0.4cm} mit \hspace{0.3cm} F_{n}(\alpha) = \begin{pmatrix}1 & & \\ & \ddots & \\ & &\alpha \end{pmatrix}.$

Es bleibt also zu zeigen, dass $F_{n}(\alpha)$ mit $E_{n}$ verbindbar ist.
Die Menge $\{F_{n}(\alpha) \vert \alpha \in \mathbb{C}^{\times} \}$ ist aber isomorph zu $\mathbb{C}^{\times}$ und $\mathbb{C}^{\times}$ ist zusammenhängend. Damit folgt der Zusammenhang von $GL(n,\mathbb{C}).$

Nun nehmen wir an, dass $GL(n,\mathbb{R})$ zusammenhängend ist. Dann gibt es auch einen Weg $\gamma$ von $GL(n,\mathbb{R})^{+}$ nach $GL(n,\mathbb{R})^{-}$ . Dann ist $det \circ \gamma$ ein Weg von $\mathbb{R}^{\times}_{+}$ , was nicht sein kann.

(Autor: Borgart)

Seien , $B \in \tilde G$ und $\gamma$ , $\delta$ Wege von bzw. nach $E_{n}$ . Dann ist $\hspace{0.4cm} t \mapsto \gamma(t)\cdot \delta(t)^{-1}$ ein Weg von $A \cdot B^{-1}$ nach $E_{n}$ . Also gilt $A \cdot B^{-1} \in \tilde G$ und somit ist $\tilde G$ eine Untergruppe von .
Ausserdem ist für jedes $C \in G$ die Abbildung $\hspace{0.4cm} t \mapsto C \cdot \gamma(t) \cdot C^{-1}$ ein Weg von $C \cdot A \cdot C^{-1}$ nach $E_{n}$ . Damit ist $C \cdot A \cdot C^{-1} \in \tilde G$ und folglich ist $\tilde G$ ein Normalteiler von .
Mit $\tilde G$ sind auch alle Nebenklassen von $\tilde G$ zusammenhängend. Es bleibt zu zeigen, dass Elemente aus verschiedenen Nebenklassen nicht verbindbar sind. Sei $C \tilde G$ eine beliebige Nebenklasse mit $C\not\in\tilde G$ und mit $B \in \tilde G$ . Falls es einen Weg $\gamma$ von nach $E_{n}$ gibt, dann gibt es auch einen Weg von nach $C^{-1}$ , d.h. $C^{-1} \in \tilde G$ . Damit gilt $C \tilde G$ = $\tilde G$ . Daraus folgt, dass es keine Verbindung zwischen $\tilde G$ und einer Nebenklasse von $\tilde G$ gibt.

Nun wählen wir 2 verschiedene Nebenklassen $C \tilde G$ und $D \tilde G$ mit $C,D \not \in \tilde G$ . Falls es eine Vebindung zwischen den beiden gibt, dann sind auch $\tilde G$ und $DC^{-1} \tilde {G} \not = \tilde G$ verbunden, was nach dem obigen nicht sein kann. Damit entspricht eine Nebenklasse genau einer Zusammenhangskomponente.

(Autor: Borgart)

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automatisch erstellt am 14.11.2008