Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Lie-Algebren-Grundlagen-Lie-Algebren

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Lie-Algebren - Grundlagen
	Lie-Algebren

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Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Eine Lie-Algebra über $\mathbb{K}$ ist ein $\mathbb{K}$ -Vektorraum

zusammen mit einer Multiplikation

$\displaystyle V\times\ V\rightarrow V,~~(x,y)\mapsto \left[x,y\right]~~~$ ( $\left[\cdot,\cdot\right]$ heißt Lie-Klammer)

mit folgenden Eigenschaften

$\left[x,y\right]$ ist $\mathbb{K}$ -bilinear $\forall x,y\in V$
$\left[x,x\right]=0~~\forall x\in V$
Es gilt die Jacobi-Identität $\left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=0~~\forall x,y,z\in V$

Seien $\cal L$ und $\cal H$ Lie-Algebren über $\mathbb{K}$ . Eine $\mathbb{K}$ -lineare Abbildung $\alpha:{\cal L}\rightarrow{\cal H}$ heißt Homomorphismus, falls gilt

$\displaystyle \alpha\left(\left[x,y\right]\right)=\left[\alpha\left(x\right),\alpha\left(y\right)\right]~~\forall x,y\in{\cal L}.$

Ist $\alpha$ bijektiv, dann heißt $\alpha$ Isomorphismus.

Aus Obigem folgt, dass die Multiplikation anti-kommutativ ist, d.h. $\left[x,y\right]=-\left[y,x\right]$ .
Ein Untervektorraum von $\cal L$ heißt Teilalgebra, wenn $\left[U,U\right]\subseteq U$ ist.
Ein Ideal einer Lie-Algebra $\cal{L}$ ist wie üblich definiert:

$\displaystyle \forall x\in {\cal L} \forall y\in I:~\left[x,y\right]\in I \Leftrightarrow\left[{\cal L},I\right]\subseteq I.$
Das Bild eines Homomorphismus $\alpha:{\cal L}\rightarrow{\cal H}$ ist eine Unteralgebra von $\cal H$ . Weiter ist der Schnitt beliebig vieler Unteralgebren einer Lie-Algebra wieder eine Unteralgebra.
Eine Lie-Algebra $\cal L$ heißt einfach, wenn $\cal L$ und 0 die einzigen Ideale sind.
Eine Lie-Algebra $\cal L$ heißt halbeinfach, wenn sie direkte Summe einfacher Ideale ist.

(Autor: Hablizel)

Jeder -dimensionale $\mathbb{K}$ -Vektorraum wird durch $\left[x,y\right]=0,~\forall x,y\in V$ zu einer einfachen Lie-Algebra.
$\left\{A\in \mathbb{K}^{n\times n}: \mbox{Spur }A=0\right\}$ mit Lie-Klammer $\left[A,B\right]:=AB-BA$ ist eine einfache Lie-Algebra über $\mathbb{K}$ .
Jede $\mathbb{K}$ -Algebra wird zu einer Lie-Algebra durch $\left[x,y\right]:=x*y-y*x$ wobei die Multiplikation in der Algebra bezeichnet
Sei ein $\mathbb{K}$ -Vektorraum und $\operatorname{End}(V)$ die Menge der $\mathbb{K}$ -linearen Selbstabbildungen von . Dann ist $\operatorname{End}(V)$ zusammen mit der Lie-Klammer $\left[A,B\right]:=A\circ B-B\circ A$ eine Lie-Algebra. Sie wird mit $\operatorname{gl}(V)$ bezeichnet

(Autor: Hablizel )

Für $X\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{K})$ ist die Reihe $\exp(X):=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}X^k}$ absolut konvergent ( $\exp$ heißt (Matrix-)Exponentialabbildung).
Denn mit $\left\vert\left\vert A\right\vert\right\vert:=\sup\limits_{x\neq 0}{\frac{\left\vert Ax\right\vert}{\left\vert x\right\vert}}$ gilt $\left\vert\left\vert\exp(A)\right\vert\right\vert\leq\exp(\left\vert\left\vert A\right\vert\right\vert)$ .

(Autor: Hablizel)

Für eine Untergruppe

von $\operatorname{GL}\left(n,\mathbb{K}\right)~~(\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ oder $\mathbb{H})$ setzen wir

$\displaystyle {\cal L}G:=\left\{X\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{K}):~\operatorname{exp}(tX)\in G\mbox{ für alle }t\in\mathbb{R}\right\}.$

Für Untergruppen und von $\operatorname{GL}\left(n,\mathbb{K}\right)$ gilt

${\cal L}\left(G\cap H\right)={\cal L}G\cap{\cal L}H$
$G\subseteq H\Rightarrow{\cal L}G\subseteq{\cal L}H$

Aus ${\cal L}G={\cal L}H$ folgt nicht

, wie man sich leicht an dem Beispiel $G=\mathbb{R}^\times=\operatorname{GL}(1,\mathbb{R})$ klarmacht (in diesem Fall gilt nämlich $\exp(t)=e^t\in\mathbb{R}_+^\times$ für alle $t\in\mathbb{R}$ , und damit ${\cal L}\mathbb{R}_+^\times=\mathbb{R}$ ).

${\cal L}G$ ist für jede lineare Gruppe eine Lie-Algebra über $\mathbb{R}$ . ${\cal L}G$ heißt Lie-Algebra von G.
Nach Definition von ${\cal L}G$ gilt $\exp(X)\in G$ für alle $X\in{\cal L}G$ .
Die Restriktion $\exp_G:{\cal L}G\rightarrow G$ heißt Exponentialabbildung der Gruppe .

(Autor: Hablizel)

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automatisch erstellt am 14.11.2008