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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Darstellungen von Gruppen - Grundlagen zur Darstellungstheorie

Tensorprodukt von Darstellungen

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Seien $ r_1: G_1 \to GL(V_1)$ und $ r_2: G_2 \to GL(V_2)$ Darstellungen mit Charakteren $ \chi_1$ bzw. $ \chi_2$.
Definiert man nun

$\displaystyle r_1\otimes r_2 : G_1 \times G_2 \to GL(V_1 \otimes V_2) $

mit

$\displaystyle (r_1 \otimes r_2)((g_1,g_2)) = r_1(g_1) \otimes r_2(g_2) \,, $

so erhält man eine Darstellung von $ G_1\times G_2$ in $ V_1\otimes V_2$ mit zugehörigem Charakter $ \chi = \chi_1 \chi_2$.

Betrachtet man den Fall $ G_1 = G_2 =G$, dann kann man $ G$ mit der Teilmenge $ G'=\{(g,g) \vert g \in G\} \subset G \times G$ identifizieren. Es ist dann

$\displaystyle r_1\otimes r_2 \vert _{G'} : G' \to GL(V_1 \otimes V_2)$

eine Darstellung von $ G$ in $ V_1\otimes V_2$ mit Charakter $ \chi_1 \chi_2$. Man nennt $ r_1 \otimes r_2\vert _{G'}$ das Tensorprodukt der Darstellungen $ r_1 , r_2$ von G. Insbesondere erhält man zu je zwei Charakteren $ \chi_1 , \chi_2$ von $ G$ einen i.A. neuen Charakter $ \chi_1 \chi_2$ von $ G$.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008