Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik-Lösungen-Übungsblatt 10-Blatt 10, Aufgabe 1

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	Mathematik-Online-Kurs: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik - Lösungen - Übungsblatt 10
	Blatt 10, Aufgabe 1

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$\displaystyle F(x) = \int_0^{\infty} e^{-\frac{y}{x}} dy$
- Wert des Integrals berechnen und dann differenzieren:
  
  $\displaystyle F(x) = \left [ -xe^{-\frac{y}{x}} \right ]_0^{\infty} = 0+x = x \Rightarrow F^{'}(x) = 1$
- Integral differenzieren und dann ausrechnen:
  
  $\displaystyle F^{'}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{y}{x^2}e^{-\frac{y}{x}} dy = \left[ -\frac{... ...rac{y}{x}} \right ]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac{1}{x}e^{-\frac{y}{x}} dy$
  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left [ - e^{-\frac{y}{x}} \right ]_0^{\infty} = 1$
$\displaystyle G(x) = \int_0^{x} \sin(xy) dy$
- Wert des Integrals berechnen und dann differenzieren:
  
  $\displaystyle G(x) = \left [ -\frac{1}{x}\cos(xy) \right ]_0^{x} = -\frac{1}{x}\cos(x^2) + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}(1-\cos(x^2))$
  
  $\displaystyle \Rightarrow G^{'}(x) = -\frac{1}{x^2}(1-\cos(x^2)) + 2\sin(x^2)$
- Integral differenzieren und dann ausrechnen: (mit Leibniz-Regel)
  
  $\displaystyle G^{'}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{x} y\cdot\cos(xy) dy + \sin(x^2) = \sin(x^2) + \left[ \frac{y}{x}\sin(xy) \right ]_0^{x} - \int_0^{x} \frac{1}{x}\sin(xy) dy$
  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin(x^2) + \left [ \frac{1}{x^2}\cos(xy) \right ]_0^{x}$
  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin(x^2) + \frac{1}{x^2}\cos(x^2) - \frac{1}{x^2}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 28.10.2006