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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Winkel zwischen Vektoren

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Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit dem Vektor $ \vec{u}=(1,1,1)^\mathrm{t}$ einen Winkel von $ \pi / 3 $ bilden.

(Autor: Klaus Höllig)
Gegeben seien die Punkte $ O=(0, 0, 0)$ , $ P_1=(1, 2, 2)$ und $ P_2=(2, 1, -2)$ , die Gerade $ g_1$ durch $ O$ und $ P_1$ , sowie die Gerade $ g_2$ durch $ O$ und $ P_2$ .
a)
Zeigen Sie, daß $ g_1$ und $ g_2$ orthogonal sind.
b)
Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden $ g_3$ an, die $ g_1$ und $ g_2$ im Punkt $ O$ orthogonal schneidet.
c)
Bestimmen Sie ein orthonormales Rechtssystem $ \{\vec{b_1},\vec{ b_2}, \vec{b_3}\}$ , so daß $ \vec{b_i}$ jeweils in Richtung der Geraden $ g_i$ zeigt ($ i=1, 2, 3$ ).

(Aus: HM I WS 97/98)
#./interaufg380.tex#Gegeben seien die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right) \quad {\mbox{und}} \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{r}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right). $


a)
Bestimmen Sie den Winkel $ \alpha \in [0,\pi]$ zwischen den beiden Vektoren.
b)
Bestimmen Sie einen zu $ \vec{a}$ orthogonalen Vektor $ \vec{c}$, so dass $ \vec{a}$ und $ \vec{c}$ dieselbe Ebene wie $ \vec{a}$ und $ \vec{b}$ aufspannen.
c)
Ergänzen Sie $ \{\vec a,\, \vec c\,\}$ zu einer orthogonalen Basis $ \{\vec a,\, \vec c,\, \vec d \}$.

Antwort:

a)
$ \pi/$
b)
$ \vec{c}=($, , $ 1)^\mathrm{t}$
c)
$ \vec{d}=($, , $ 1)^\mathrm{t}$
(auf drei Nachkommastellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)
Gegeben seien

$\displaystyle \vec{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ -3\\ 1\end{array}\right), \qu... ...ray}\right), \quad \vec{y}=\left(\begin{array}{r} a\\ 2\\ 0\end{array}\right). $

Berechnen Sie:
a) $ \vert v\times w\vert^2$ ,     b) $ \left<w\times x, v\right>$
Bestimmen Sie $ a\in\mathbb{R}$ so, dass $ \ldots$
c)$ x$ und $ y$ orthogonal sind.
d)$ v$ , $ w$ und $ y$ linear abhängig sind.

Antwort:
a),         b) ,         c) ,         d) $ /5$
   

(Autoren: App/Apprich)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008