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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Gruppen

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Sei $ P$ die Menge aller Primzahlen $ \leq 13$. Auf $ P$ wird die binäre Operation $ \diamond: P\times P \longrightarrow P$, mit

$\displaystyle p \diamond q =$   größter Primfaktor von $\displaystyle p+q-2 \; , $

definiert.
a)
Stellen Sie für $ (P,\diamond)$ die Verknüpfungstabelle auf.
b)
Lösen Sie in $ (P,\diamond)$ die Gleichung $ 5\diamond x=5$, und geben Sie an, ob $ (P,\diamond)$ eine Gruppe bildet.

Kreuzen Sie an, ob es sich bei den angegebenen mathematischen Strukturen um Gruppen handelt.

        ist Gruppe      ist keine Gruppe
$ (\mathbb{N} , \cdot)$ keine Angabe
$ (\mathbb{R} , +)$ keine Angabe
$ (\mathbb{R} , \cdot)$ keine Angabe
$ (\mathbb{F}_3 , +)$      keine Angabe

   
(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05, Scheinklausur 1)
Welche Aussagen gelten für eine beliebige Gruppe $ (G,\ast)$?
a)
$ G$ ist unter der Verknüpfung $ \ast$ abgeschlossen.
b)
$ G$ besitzt mindestens zwei Elemente.
c)
Jede Teilmenge von $ G$ ist unter $ \ast$ abgeschlossen $ \Longleftrightarrow$ $ \vert G\vert=1$.
d)
Jedes vom neutralen Element $ e$ verschiedene Element von $ G$ besitzt ein Inverses.
e)
Jedes Element vertauscht mit $ e$, d.h. für alle $ g \in G$ gilt $ g \ast e = e \ast g$.
f)
Ist ein Element $ g \in G$ gleich seinem Inversen, d.h. $ g=g^{-1}$, dann ist $ g=e$.
g)
Die Verknüpfung $ \ast$ erfüllt das Kommutativgesetz.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008