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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Normalformen

Jordan Normalform

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#./aufgabe68.tex#Bestimmen Sie die Jordanschen Normalformen der folgenden Matrizen:

$\displaystyle A_1 = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ -1 & ... ... 1\\ 0 & 4 & 1 & 3\\ 0 & -1 & 2 & -2\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $


(Aus: HM I, 1992-2002)
Berechnen Sie die Jordan-Normalform $ J$ der Matrix

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{rrr} -1& 2& -1\\ -8&-10& 8\\ -15&-14& 13\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Geben Sie dabei die Diagonaleinträge aufsteigend sortiert ein.

$ J= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

   

(Autor: Andreas App)
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right). $

a) Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem kleinsten Eigenwert:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie folgende Matrix $ T$ so, daß $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
$ 3$ $ 3$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

b) Berechnen Sie die Inverse der Transformationsmatrix $ T$ :

$ T^{-1}= \frac{1}{54} \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Berechnen Sie (mit Hilfe der Darstellung $ A=TJT^{-1}$ ) die folgende Matrix:

$ \big(\frac{1}{3}\big)^{999}A^{1001}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008