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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Normalformen

Diagonalisieren

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Diagonalisieren Sie die Matrix $ A = \left(\begin{matrix} \frac{8359}{41} & 200 &-\frac{8400}{41} \\ \frac{84}... ...-\frac{84}{41} \\ \frac{8400}{41} & 200 &-\frac{8441}{41} \end{matrix}\right)$. Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix $ D$, zu der $ A$ konjugiert ist, und die Transformationsmatrix $ T$, für die $ D=T^{-1}A\,T$ gilt.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 8 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \... ... & t & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & t & 1 \end{array} \right)\quad (t\in\mathbb{R}). $

a) Tragen Sie die Eigenwerte von $ A$ aufsteigend sortiert in die Diagonale der folgenden Matrix $ D$ ein:

$ D= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Vervollständigen Sie nachstehende Matrix $ S$ so, daß $ S^{-1}AS=D$ gilt:

$ S= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$ $ 1$ $ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

b) Bestimmen Sie den positiven Wert $ t_{0}$, für den $ A$ und $ B_{t_{0}}$ konjugiert sind (d.h. es gibt eine reguläre Matrix $ U$ mit $ U^{-1}AU=B_{t_{0}}$):

$ t_{0}=$ .

Ab jetzt sei $ B=B_{t_{0}}$ gesetzt. Vervollständigen Sie nachstehende Matrix $ T$ so, daß $ TB_{t}T^{-1}$ für alle $ t\in\mathbb{R}$ eine Diagonalmatrix ist und $ TBT^{-1}=D$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

c) Bestimmen Sie eine Matrix $ M$ mit ganzzahligen Einträgen und den Eigenwerten $ 1$, $ 2$ und $ 4$, so daß gilt $ M^{-1}AM=B$.
Lösung:

$ M= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
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  automatisch erstellt am 22.8.2008