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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Analytische Geometrie

Drehmatrix

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Gegeben seien die drei Vektoren

$\displaystyle \vec{u}=\left(\begin{array}{r}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right), \quad... ...{\mbox{und}} \quad \vec{w}=\left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ -2\end{array}\right). $

a)
Bestimmen Sie die Drehmatrix $ D$ mit $ D\,u=v$, $ D\,v=w$ und $ D\,w=u$.
b)
Berechnen Sie $ D^3$.
c)
Bestimmen Sie die Drehachse $ \vec{a}$ und den Drehwinkel $ \Theta$ von $ D$.

Antwort:
a) $ D=$
$ \left( \rule{0pt}{8ex}\right.$
1
$ \left. \rule{0pt}{8ex}\right)$

b) $ D^3=$
$ \left( \rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{8ex}\right)$

c) $ \vec{a}=$
$ \left( \rule{0pt}{8ex}\right.$
1    
   
   
$ \left. \rule{0pt}{8ex}\right)$
,         $ \Theta=2\pi/$
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)
#./interaufg218.tex#Bestimmen Sie die letzte Spalte $ \vec{p}$ der Drehmatrix

$\displaystyle \left(\begin{array}{c c c} 4/9&-4/9&p_1\\ 8/9&1/9&p_2\\ 1/9&8/9&p_3 \end{array}\right) $

sowie den Drehwinkel $ \varphi$ und die Drehachse $ \vec{d}$.


Antwort:
$ \displaystyle\vec{p}=\frac{1}{9} \big($,, $ \big)^{\operatorname t}$,         $ \varphi=$$ ^{\circ}$
Drehachse: $ \displaystyle=\frac{1}{3}$(2,, $ )^{\operatorname t}$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
Bestimmen Sie für $ d=(1,0,1)^{\operatorname{t}}$
a)
die Matrix $ Q_{d}$ der Drehung mit Drehachse $ d$ und Drehwinkel $ \frac{\pi}{2}$, für die $ \operatorname{det}(e_2,Q_{d}e_2,d)\geq 0$ für $ e_2=(0,1,0)^{\operatorname{t}}$ gilt,
b)
die Matrix $ Q_{s}$ der Spiegelung an der zu $ d$ orthogonalen Ursprungsebene.

Antwort:
a)
$ Q_d = \displaystyle\frac{1}{2}\left( \rule{0cm}{6ex} \right.$
$ \left) \rule{0cm}{6ex} \right. $

b)
$ Q_s = \left( \rule{0cm}{6ex} \right.$
$ \left) \rule{0cm}{6ex} \right. $

(auf vier Nachkommastellen gerundet)
   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008