Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Analytische Geometrie

Quadrik

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q_\alpha:\, x_1^2 - 2 x_2^2 + \alpha x_3^2 + 4 x_1 x_2 + 2 \sqrt 5 \, x_1 + 4 \sqrt 5 \, x_2 + \alpha = 0$

in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $ \alpha$
a)
die Matrixform
b)
den Typ.

(Aus: HM I, Herbst 1994)
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 48x_1^2-33x_2^2-15x_3^2-120x_1x_2+48x_1x_3+48x_2x_3+434x_1-1504x_2+718x_3 = 1341 $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ a= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ c=$


b)
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+2x_3=0$

$ 1/a_1=$         $ 1/a_2=$     (positive Werte angeben)

c)
kegelige Quadrik          Mittelpunktsquadrik          parabolische Quadrik

   
(Autor: Andreas App)
Betrachten Sie die von einem Parameter $ \alpha\in\mathbb{R}$ abhängige Quadrik

$\displaystyle Q_{\alpha}:\, 2x^{2}+\alpha z^{2}-2\sqrt{3}\,xy=0\,. $

a)
Für welche $ \alpha$ stellt die Quadrik einen Kreiskegel dar?
b)
Welche geometrischen Objekte entstehen durch Schnitt von $ Q_{3}$ mit den Ebenen
$ E_{1}:\, x=1$, $ E_{2}:\, y=1$ und $ E_{3}:z=1$?
Hinweis: Ein Kreiskegel besitzt die Normalform $ \lambda \tilde{x}^2+\lambda\tilde{y}^2=\varrho \tilde{z}^2$, $ \lambda, \varrho>0$.


Antwort:

a)
$ \alpha_1=$         $ \alpha_2=$          (aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

b)
$ E_1:$ leere Menge         Ellipse         Parabel         Hyperbel
$ E_2:$ Geradenpaar         Ellipse         Parabel         Gerade
$ E_3:$ leere Menge         Ellipse         Parabel         Hyperbel


   

(Aus: K. Höllig, Diplomvorprüfung HM I-III, Herbst 2004)

siehe auch:

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 22.8.2008