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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Analytische Geometrie

Euklidische Normalform

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Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 11x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+12x_{1}x_{2}+12x_{2}x_{3}+ 78x_{1}+32x_{2}+12x_3 + 133 =0 $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die euklidische Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ a= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ c=$  
b)
$ z_1^2$ $ +$ $ z_2^2$ $ +$ $ z_3^2=0$
c)
Ellipsoid                      einschaliges Hyperboloid                      Kegel         
Zeppelin                      hyperbolisches Paraboloid                         


   

(Autor: Martin Hertweck)
Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A = \left ( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -\sqrt{2} \\ 1 & -1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \end{array} \right ) $

a)
die Eigenwerte und die Eigenräume
(Zur Kontrolle: 2 ist ein Eigenwert von $ A$)
b)
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
c)
die Euklidische Normalform der Quadrik $ Q_0:\, x^{\mathrm{t}}Ax = 0$ und die zugehörige Transformation $ x = T \hat{x}$
d)
die $ c \in \mathbb{R}$, für die die Quadrik $ Q_c:\, x^{\mathrm{t}}Ax + c = 0 $ eine Gerade enthält.

Antwort:

a)
Charakteristisches Polynom:     $ \lambda^3\, +$ $ \lambda^2\, +$ $ \lambda\, +$
Eigenwerte:     $ \lambda_{1/2}=$          $ \lambda_3=$
Eigenvektoren:
zu $ \lambda_{1/2}$:
$ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \sqrt{2}$
0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)\,,\qquad \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \sqrt{2}$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
        zu $ \lambda_3$:
$ \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ -\sqrt{2}$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

c)
Transformationsmatrix:
$ T=\dfrac{1}{6}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
    $ \sqrt{6}$     $ \sqrt{3}$
0 $ \sqrt{3}$
$ -3\sqrt{2}$     $ \sqrt{3}$     $ \sqrt{6}$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
mit $ T^{\operatorname t}AT= \left(\begin{array}{ccc} \lambda_3 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{1/2} & 0\\ 0 & 0 & \lambda_{1/2} \end{array}\right)$



Normalform:     $ \hat{x}_1^2\, +$ $ \hat{x}_2^2\, +$ $ \hat{x}_3^2\, =0$

d)
$ c<0$          $ c>0$          $ c\le0$          $ c\ge0$          $ c=0$          $ c\ne0$          $ c \in \mathbb{R}$


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008