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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Permutationen

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Bestimmen Sie für die Permutation

$\displaystyle \pi=\left(\begin{array}{*{15}r} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & ... ...5 & 6 & 10 & 13 & 12 & 14 & 1 & 3 & 4 & 7 & 9 & 11 & 2 & 8 \end{array}\right) $

die Zyklendarstellung und das Signum. Bestimmen Sie außerdem die Permutationen $ \pi^2, \pi^3$ und $ \pi^6$, sowie die minimale Anzahl $ n$ der Hintereinanderausführungen von $ \pi$, die auf die Identität führen, d.h. $ \pi^n=\mathrm{id}$.

Antwort:
Anzahl der Zyklen von $ \pi$ mit Länge $ > 1$:
Länge des längsten Zyklus von $ \pi$:
Signum von $ \pi$:
Anzahl der Zyklen von $ \pi^2$ mit Länge $ > 1$:
Länge des längsten Zyklus von $ \pi^2$:
Anzahl der Zyklen von $ \pi^3$ mit Länge $ > 1$:
Länge des längsten Zyklus von $ \pi^3$:
Anzahl der Zyklen von $ \pi^6$ mit Länge $ > 1$:
Länge des längsten Zyklus von $ \pi^6$:
Anzahl $ n$ mit $ \pi^n=$id:

  

[Andere Variante]
(Autor: Jörg Hörner)
Bestimmen Sie für die Permutationen

$\displaystyle \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 1 & 8 & 2 & 3 \end{pmatrix}\,,\quad \pi^{-1}\,, \quad \pi\circ\pi $

die Zyklendarstellungen und das Vorzeichen.

Antwort:

Sortieren Sie in jedem Zyklus das kleinste Element an die erste Stelle und ordnen Sie die Zyklen aufsteigend nach diesem ersten Element.

$ \pi=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi)=$

$ \pi^{-1}=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi^{-1})=$

$ (\pi\circ\pi)=$ keine Angabe ,
  $ (a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
  $ (a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
$ a=$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$ ,
$ e=$ , $ f=$ , $ g=$ , $ h=$
$ \sigma(\pi\circ\pi)=$
  

[Andere Variante]
(Aus: Scheinklausur HM2 Höllig SS05)
Es sei $ \pi_1=(1235)$, $ \pi_2=(45)$, $ \pi_3=(134)$ und $ \pi_4=(14)$. Berechnen Sie:
a)
$ \pi_1 \cdot \pi_2$.
b)
$ \pi_1 \circ \pi_2$.
c)
$ \pi_4^{-1} \cdot \pi_1 \cdot \pi_4$.
d)
$ \pi_2\cdot \pi_3 \cdot \pi_4$.
Geben Sie die Ergebnisse in Permutationsschreibweise an.

Antwort:

a)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
b)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
c)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
d)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$


   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
Es sei $ \pi_1=(1235)$, $ \pi_2=(45)$, $ \pi_3=(134)$ und $ \pi_4=(14)$. Berechnen Sie:
a)
$ o(\pi_1)$.
b)
$ o(\pi_2 \cdot \pi_4)$.
c)
$ \vert \langle \pi_2,\pi_4 \rangle\vert$.
d)
sign$ (\pi_3)$.
e)
sign$ (\pi_1^5)$.

Antwort:

a)     b)     c)     d)     e)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008