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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Vektorräume

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Sei $ V$ die Menge aller Folgen $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $ \mathbb{R}$, versehen mit der Addition und skalaren Multiplikation

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl@{\qquad {\mbox{f\uml ur alle}} \quad}l} (a... ...\lambda a_n), & \lambda\in\mathbb{R}, \ (a_n)\in V. \end{array}\end{displaymath}

Zeigen Sie, dass $ V$ ein Vektorraum über $ \mathbb{R}$ ist, und untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Unterräume von $ V$ sind.

a) $ \{(a_n)\in V : \ (a_n) \ {\mbox{ist konvergent}} \}$
b) $ \{(a_n)\in V : \ (a_n) \ {\mbox{ist monoton wachsend}} \}$
c) $ \{(a_n)\in V : \ \exists \ n_0\in\mathbb{N} \ \ \forall \ n>n_0 : \ a_n=0 \}$

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)
Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die folgenden Mengen reelle Vektorräume sind
a)
rationale Funktionen
b)
rationale Funktionen mit Zählergrad $ >$ Nennergrad
c)
rationale Funktionen mit Zählergrad $ <$ Nennergrad
d)
rationale Funktionen ohne Nullstellen (auf $ \mathbb{R}$)
e)
rationale Funktionen ohne Polstellen (auf $ \mathbb{R}$)

Antwort:
a) keine Angabe ,         ja ,        nein
b) keine Angabe ,         ja ,        nein
c) keine Angabe ,         ja ,        nein
d) keine Angabe ,         ja ,        nein
e) keine Angabe ,         ja ,        nein
   

(Autor: Klaus Höllig)
Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die folgenden Mengen reelle Vektorräume sind
a)
gerade Polynome vom Grad $ \leq n$.
b)
ungerade Polynome vom Grad $ \leq n$.
c)
Polynome vom Grad $ \leq n$ mit $ p(1)=p(2)=0$.
d)
Polynome vom Grad $ \leq n$ mit mindestens zwei (reellen) Nullstellen.

Antwort:
Geben Sie an, ob es sich um einen reellen Vektorraum handelt:
a) keine Angabe ,        ja ,         nein
b) keine Angabe ,        ja ,         nein
c) keine Angabe ,        ja ,         nein
d) keine Angabe ,        ja ,         nein
   

(Autor: Jörg Hörner)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008