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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Untervektorräume

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Sind die folgenden Mengen reelle Untervektorräume des reellen Vektorraums $ M=\{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ mit den Operationen
$\displaystyle \big(f +g\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x) + g(x)\,,\quad \forall f,g\in M$  
$\displaystyle \big(\alpha f\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha f(x)\,,\quad \forall f\in M,\alpha\in \mathbb{R}$  

i) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, f(1) = 1\} $  keine Angabe , ja, nein
ii) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, f(0) = 0\} $  keine Angabe , ja, nein
iii) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, \exists k\in \mathbb{R}$    mit $ f(x) = kx\} $  keine Angabe , ja, nein
iv) $ \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\vert\, \exists k\in \mathbb{R}$    mit $ f(x) = kx^2\} $  keine Angabe , ja, nein

   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Sei $ V$ ein Vektorraum über einem Körper $ K$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Eine Teilmenge $ W \subset V$ ist ein Untervektorraum von $ V$, wenn gilt

a)
$ \forall \lambda \in K \ \forall w \in W$ :      $ \lambda w \in W$.

b)
$ \forall w_1 \, , \, w_2 \in W$ :      $ w_1 + w_2 \in W$.

c)
$ \forall \lambda \in K \ \forall w \in W$ :      $ \lambda w \in W$ und      $ \forall w_1 \, , \, w_2 \in W$ :      $ w_1 + w_2 \in W$.

d)
$ \forall \lambda_1 \, , \, \lambda_2 \in K \ \forall w_1 \, , \, w_2 \in W$ :      $ \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 \in W $.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
Untersuchen Sie jeweils, ob $ U$ ein Unterraum des reellen Vektorraums $ V$ ist.

a)
$ V$: Menge der reellen Zahlenfolgen,
$ U=$: Menge der beschränkten reellen Zahlenfolgen.
b)
$ V=\mathbb{R}^{2}$,
$ U=\left\{(x,y) \in\mathbb{R}^{2}: \;\, x<y\right\}$.
c)
$ V$: Menge der stetigen Funktionen $ f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$,
$ U=\left\{f\in V: \;\, f(1)=f(2)\right\}$.
d)
$ V=\mathbb{R}^{4}$,
$ U=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}: \;\, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}$.
(Autor: Joachim Wipper)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008