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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Linearkombinationen

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Es sei der $ K$-Vektorraum $ V$ und die Vektoren $ v_1,\ldots,v_m\in V$ gegeben.

Zeigen Sie, dass

$\displaystyle \operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_m)=\Big{\{}\sum_{j=1}^{m}\alpha_j v_j\in V \Big\vert \alpha_1,\ldots,\alpha_m\in K \Big{\}} $

ein Untervektorraum von $ V$ ist.
(Aus: HM I Stroppel WS 2005/06)
Sei $ V= \mathbb{R}^3$. Gegeben seien die vom Parameter $ t\in \mathbb{R}$ abhängigen Vektoren

$\displaystyle \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),... ...ht), \qquad \boldsymbol{c}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ t^2\end{array}\right).$

Untersuchen Sie, für welche Werte von $ t$ diese Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Sei $ V$ ein Vektorraum über einem Körper $ K$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Sind die Vektoren $ v_1 , ... , v_n \in V$ linear abhängig, dann lässt sich $ v_1$ als Linearkombination der übrigen $ v_i$ darstellen.

b)
Sind $ n$ Vektoren $ v_1 , ... , v_n \in V$ linear abhängig, dann ist dim$ (V) < n$.

c)
Ist dim$ (V) = n$, dann sind je $ n$ Vektoren aus $ V$ stets linear abhängig.

d)
Ist dim$ (V) < n$, dann sind je $ n$ Vektoren aus $ V$ stets linear abhängig.

e)
Sind die Vektoren $ v_1$ und $ v_2$ linear abhängig, dann gibt es unendlich viele verschiedene Lösungen der Gleichung $ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0$.

f)
Sind die Vektoren $ v_1$ und $ v_2$ linear abhängig, dann gibt es unendlich viele verschiedene Lösungen der Gleichung $ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = 0$, falls $ K$ unendlich viele Elemente enthält.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
Sei $ K= \mathbb{Z}/ 13\mathbb{Z}$. Sind die Vektoren

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{c} {[1]} \\ {[3]} \\ {[5]} \end{array} \... ...t( \begin{array}{c} {[1]} \\ {[1]} \\ {[1]} \end{array} \right)\end{displaymath}

in $ K^3$ linear unabhängig ?

Antwort:

wahr falsch

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008