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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Grundlegende Strukturen

Norm

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Beweisen Sie: $ \vert\vec{x} \times \vec{y}\vert^2 = \vert\vec{x}\vert^2 \vert\vec{y}\vert^2 - \vert\vec{x} \cdot \vec{y}\vert^2$ .

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)
Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), welche der Normeigenschaften (Positivität, Homogenität, Dreiecksungleichung) die folgenden Funktionen $ f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}_0^+$ erfüllen.
a) $ f(x)=\vert x_1+3x_2\vert$                 b) $ f(x)=\vert x_1\vert+3\vert x_2\vert$
c) $ \left(\sqrt{\vert x_1\vert}+\sqrt{\vert x_2\vert}\right)^2$                 d) $ \displaystyle f(x)=\vert x_1\vert+\frac{\vert x_2\vert}{1+\vert x_2\vert}$

Antwort:

a) Positivität ,        Homogenität ,         Dreiecksungleichung
b) Positivität ,        Homogenität ,         Dreiecksungleichung
c) Positivität ,        Homogenität ,         Dreiecksungleichung
d) Positivität ,        Homogenität ,         Dreiecksungleichung


   

(Autor: Klaus Höllig)
Zeigen Sie:
a)
$ \mid \Vert a-c \Vert - \Vert b-c \Vert \mid \leq \Vert a-b \Vert $
b)
$ \mid \Vert a-b \Vert - \Vert c-d \Vert \mid \leq \Vert a-c \Vert + \Vert b-d \Vert $

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 22.8.2008