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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 3

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Gegeben ist die Matrix $ A$ und der Vektor $ v_1$ mit

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrr} 11&0&2\\ 0&25&0\\ 2&0&14 \end{array}\right) \end{displaymath}         

\begin{displaymath} v_1= \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ 2 \end{array}\right) \end{displaymath}

$ A$ besitzt drei verschiedene Eigenwerte, wobei zu einem der Eigenvektor $ v_1$ gehört. Berechnen Sie je einen normierten Eigenvektor zu den beiden anderen Eigenwerten und geben Sie das in Linearfaktoren zerlegte charakteristische Polynom $ \chi_A$ der Matrix $ A$ an.

Antwort:

$ v_2=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_3= \frac{1}{\sqrt{5}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(ganzahlige Einträge, erster von Null verschiedener Eintrag positiv)

$ \chi_A(\lambda)=($ $ -\lambda) ($ $ -\lambda) ($$ -\lambda)$

(Eigenwerte aufsteigend geordnet)
  

[Andere Variante]

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}11&0&2\\ 0&25&0\\ 2&0&14\end{pmatrix}$

Charakt. Polynom: $ \det(A-\lambda E)=(11-\lambda)(25-\lambda)(14-\lambda)-4(25-\lambda)=(25-\lambda)\left((11-\lambda)(14-\lambda)-4\right)=(25-\lambda)(\lambda^2-25\lambda+150)=0$
Also bekommen wir einen Eigenwert mit $ \lambda_2=25$. Um die übrigen Eingenwerte zu bekommen, löse die quadratische Gleichung $ \lambda^2-25\lambda+150=0$.
$ \hookrightarrow \lambda_1=15$ und $ \lambda_3=10$. Um nun zu untersuchen, zu welchem Eigenwert der Vektor $ v_1$ gehört, betrachte: $ Av=\lambda v$:

$ Av_1=\begin{pmatrix}11&0&2\\ 0&25&0\\ 2&0&14\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\... ...pmatrix}=15\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\rightarrow \lambda_1 = 15$.

Mit diesen drei Eigenwerten ergibt sich für die Linearfaktorzerlegung des
charakt. Polynoms: $ \chi_A(\lambda)=(15-\lambda)(25-\lambda)(10-\lambda)$.
Um an die Eigenvektoren zu gelangen, löse die LGS: $ (A-\lambda_iE)v_i=0$ für i=2,3:

$ (A-25E)v_2=\begin{pmatrix}-14&0&2\\ 0&0&0\\ 2&0&-11\end{pmatrix}v_2=0 \rightarrow v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$

$ (A-10E)v_3=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&15&0\\ 2&0&4\end{pmatrix}v_3=0 \rightarrow v_3=\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$.

Es gilt: $ \vert v_2\vert=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
Damit ergibt sich für den normierten Vektor $ v_3=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$
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  automatisch erstellt am 14.7.2008