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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 4

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Im $ \mathbb{R}^2$ sind das Standardkoordinatensystem $ \mathbb{E}$ sowie das Koordinatensystem $ \mathbb{F}$ mit

$ \mathbb{F} = \left( \left( \begin{array}{r}5\\ -4 \end{array} \right) ; \left(... ...end{array} \right) , \left( \begin{array}{r}-2\\ 1 \end{array} \right) \right) $

gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformation $ _{\mathbb{E}}K_{\mathbb{F}}$ und $ _{\mathbb{F}}K_{\mathbb{E}}$ :

Antwort:

$ _{\mathbb{E}}K_{\mathbb{F}}(v) =$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ v +$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

$ _{\mathbb{F}}K_{\mathbb{E}}(v) = $
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ v +$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

  

[Andere Variante]

$ \mathbb{E}=\left\{\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\right\}$ und $ \mathbb{F}=\left\{\begin{pmatrix}5\\ -4\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}\right\}$.

Um die Trafo von $ \mathbb{E}~$ nach $ \mathbb{F}$ zu bestimmen betrachte:

$\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}+2 \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$

Analoges gilt für den zweiten und den Translationsvektor. Da die Koeffizienten der Linearkombination in den Spalten eingetragen werden, erhält man somit:

$\displaystyle _\mathbb{E}\kappa_\mathbb{F}(v)= \begin{pmatrix}-3&-2\\ 2&1\end{pmatrix}\cdot v + \begin{pmatrix}5\\ -4\end{pmatrix}$

Um an die umgekehrte Koordinatentransformation zu gelangen, betrachte:

$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=a_1\cdot \begin{pmatrix}-3\\ 2\... ...pmatrix}+a_2\cdot \begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix} \rightarrow a_1=1,~a_2=-2$

Die Koeffizienten $ a_i$ stehen wie beim Vorherigen in der ersten Spalte. Berechne nun die zweite Spalte:

$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=b_1\cdot \begin{pmatrix}-3\\ 2... ...{pmatrix}+b_2\cdot \begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix} \rightarrow b_1=2,~b_2=-3$

Damit ergibt sich die Trafomatrix $ T=\begin{pmatrix}1&2\\ -2&-3\end{pmatrix}$. Erhalte nun die passende Translation:

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\ -2&-3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\ -4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}$

Da die Translation rückgängig gemacht werden muss, gilt für den Translationsvektor also $ v_t=\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}$ und somit insgesamt:

$\displaystyle _\mathbb{F}\kappa_\mathbb{E}(v)=\begin{pmatrix}1&2\\ -2&-3\end{pmatrix}\cdot v+\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008