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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 5

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Gegeben sind die normierten Vektoren $ u,v,w \in \mathbb{R}^3$ und die Matrix $ A\in \mathbb{R}^{3x3}$ mit

\begin{displaymath}u=\left( \begin{array}{r} \frac 3 5\\ \frac 4 5\\ 0 \end{arr... ...rac{3}{13}&\frac{12}{13}\\ v_1&v_2&v_3 \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Bestimmen Sie $ v_1, v_2, v_3$, so dass $ u,v,w$ ein Rechtssystem bilden und berechnen Sie für diese Werte $ \mathrm{det}A$ und $ A^{-1}$.

Antwort:

$ v=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ /$
$ /$
$ /$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$ \mathrm{det}(A)=$

$ A^{-1}=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ /$     $ /$     $ /$
$ /$     $ /$     $ /$
     $ /$     $ /$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(Brüche gekürzt mit positivem Nenner.)


  

[Andere Variante]
Damit $ u,v,w$ ein Rechtssystem bilden, müssen die Vektoren zueinander ortogonal sein. Dies liefert uns zwei Bedingungen:

$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\\ 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=\frac{3}{5}v_1+\frac{4}{5}v_2=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-\frac{4}{13}\\ \frac{3}{13}\\ \frac{12}{13}\end{p... ...1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}= -\frac{4}{13}v_1+\frac{3}{13}v_2+\frac{12}{13}v_3=0$

Die letzte Bedingung erhält man aus der Normiertheit der Vektoren. Es gilt $ \vert v\vert=1$. Damit ergibt sich die letzte Gleichung:

$\displaystyle v_1^2+v_2^2+v_3^2=1$

Mit diesen drei Gleichungen können die Unbekannten gelöst werden:

$\displaystyle 3v_1=-4v_2 \Leftrightarrow v_1=-\frac{4}{3}v_2$

$\displaystyle -4v_1+3v_2+12v_3=4\cdot \frac{4}{3}v_2+\frac{9}{3}v_2+12v_3=\frac{25}{3}v_2+12v_3 \Leftrightarrow v_2=-\frac{36}{25}v_3$

$\displaystyle \rightarrow v_1=\frac{4}{3}\cdot \frac{36}{25}v_3 \rightarrow \le... ...2=1 \Leftrightarrow \frac{169}{25}v_3^2=1 \Leftrightarrow v_3= \pm \frac{5}{13}$

$\displaystyle \rightarrow v_2= \mp \frac{36}{65} \rightarrow v_1= \pm \frac{48}{65}$

Aufgrund der Orientierung im Rechtssystem wird das Vorzeichen noch passend gewählt. Somit haben $ v$ und $ A$ folgende Einträge:

$\displaystyle v=\begin{pmatrix}-\frac{48}{65}\\ \frac{36}{65}\\ -\frac{5}{13}\... ...3}{13}&\frac{12}{13}\\ -\frac{48}{65}&\frac{36}{65}&-\frac{5}{13}\end{pmatrix}$

$ \det(A)=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{13}\cdot (-\frac{5}{13})-\frac{48}{65}\cdot ... ...36}{65}\cdot \frac{3}{5}-\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{13}=-1\\ \\ $ Da mit $ u,v,w$ ein Rechtssystem vorliegt, handelt es sich bei der Matrix $ A$ um eine orthonormale Matrix. Es gilt also: $ A^{-1}=A^\mathrm{t}$. Damit kann die Inverse $ A^{-1}$ direkt angegeben werden:

$\displaystyle A^{-1}=A^\mathrm{t}=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&-\frac{4}{13}&-\fr... ...{4}{5}&\frac{3}{13}&\frac{36}{65}\\ 0&\frac{12}{13}&-\frac{5}{13}\end{pmatrix}$

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  automatisch erstellt am 14.7.2008