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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Lineare Algebra und Geometrie

Vektoren

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Berechnen Sie für ein Viereck mit den Eckpunkten

$\displaystyle P_1=(2,1),\; P_2=(8,3),\; P_3=(6,7),\; P_4=(4,9)$

und $ S=(6,4)$ den Vektor

$\displaystyle \vec{v}=\sum_{k=1}^{4} (\vec{p_k}-\vec{s}).$

Für welchen Punkt $ S'$ ist $ \vec{v}=\vec{0}$?

Antwort:
$ \vec{v}=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
,         $ S'=($, $ )$


   

(Autoren: Geiger/Höllig)
Berechnen Sie die Drift eines mit 600km/h nach Norden fliegenden Flugzeugs bei einer Windgeschwindigkeit von 50km/h aus Südwest.

Antwort:
Drift: $ \sqrt{2}$


   

(Autoren: Geiger/Höllig)
Schreiben Sie den Vektor $ (8,9)^\mathrm{t}$ als Summe von Vektoren parallel zu $ (-2,3)^\mathrm{t}$ und $ (4,1)^\mathrm{t}$.

Antwort:
$ \begin{pmatrix}8\\ 9\end{pmatrix}=\,$ $ \begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix} +\,$ $ \begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$


  

[Andere Variante]
(Autoren: Geiger/Höllig)
Im Parallelogramm $ ABCD$ bezeichne $ M$ den Mittelpunkt der Strecke $ \overline{BC}$ und $ S$ den Schnittpunkt der Strecke $ \overline{AM}$ mit der Diagonalen $ \overline{BD}$.

a)
In welchem Verhältnis teilt $ S$ die Diagonale $ \overline{BD}$?
b)
In welchem Verhältnis steht die Fläche des Parallelogramms $ ABCD$ zur Fläche des Dreiecks $ BMS$?

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a1_bild.eps}

Antwort:

a)
$ \overline{BS} : \overline{SD}$ $ =$ :
b)
Fläche($ BMS$) : Fläche($ ABCD$) $ =$ :
(Angabe mit natürlichen Zahlen in vollständig gekürzter Form)


   

(Autoren: Höllig/Wipper)
Ein Planet im Punkt $ P=(1,1)$ mit der Masse $ m=1$ befindet sich im Gravitationsfeld dreier Sonnen. Diese besitzen die Massen $ M_1=32\sqrt{2}$, $ M_2=M_3=250$ und befinden sich in den Punkten $ S_1=(-1,-1)$, $ S_2=(4,-3)$ und $ S_3=(1,6)$. Die Anziehungskraft zwischen dem Planeten und der $ i$-ten Sonne hat den Betrag

$\displaystyle K_i=\frac{m M_i}{r_i^2} \hspace*{1.5cm} {\mbox{($r_i=$\, Abstand von $P$\ zu $S_i$)}} $

und zeigt vom Planeten $ P$ zu $ S_i$ für $ i=1,2,3$. Berechnen Sie Betrag und Richtung der auf den Planeten wirkenden Kraft.


Antwort:
$ \vec{F}=($, $ )^\mathrm{t}\,, \qquad \vert\vec{F}\vert=$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)
   

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit dem Vektor $ \vec{u}=(1,1,1)^\mathrm{t}$ einen Winkel von $ \pi / 3 $ bilden.

(Autor: Klaus Höllig)
Welchen Winkel schließt die von den Vektoren $ \vec{u}=(1,0,0)^\mathrm{t}$ und $ \vec{v}=(0,1,1)^\mathrm{t}$ aufgespannte Ebene mit dem Vektor $ \vec{w}=(3,3,1)^\mathrm{t}$ ein?

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die Winkel des von den Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=(4,3)^\mathrm{t},\quad \vec{b}=(1,7)^\mathrm{t}$

aufgespannten Parallelogramms.

Antwort:
$ \le$
(im Gradmaß)


   

(Autoren: Höllig/Wollet)
Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten

$\displaystyle A=(2,-1,2),\quad B=(-1,5,-1),\quad C=(0,1,2)$

alle Seitenlängen, den Winkel $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ und den Flächeninhalt.

Antwort:
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2$ $ =$ ,         $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2$ $ =$ ,         $ \big\vert\overrightarrow{AC}\big\vert^2$ $ =$ ,         $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\pi/$
Quadrat der Dreiecksfläche:
   

(Autoren: Höllig/Wipper)
#./interaufg380.tex#Gegeben seien die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right) \quad {\mbox{und}} \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{r}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right). $


a)
Bestimmen Sie den Winkel $ \alpha \in [0,\pi]$ zwischen den beiden Vektoren.
b)
Bestimmen Sie einen zu $ \vec{a}$ orthogonalen Vektor $ \vec{c}$, so dass $ \vec{a}$ und $ \vec{c}$ dieselbe Ebene wie $ \vec{a}$ und $ \vec{b}$ aufspannen.
c)
Ergänzen Sie $ \{\vec a,\, \vec c\,\}$ zu einer orthogonalen Basis $ \{\vec a,\, \vec c,\, \vec d \}$.

Antwort:

a)
$ \pi/$
b)
$ \vec{c}=($, , $ 1)^\mathrm{t}$
c)
$ \vec{d}=($, , $ 1)^\mathrm{t}$
(auf drei Nachkommastellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)
Bestimmen Sie die Winkel, Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten

$\displaystyle A=(1,2,3),\quad B=(2,1,5),\quad C=(3,2,5).$

Antwort:
$ \alpha$ $ =$ ,          $ \beta$ $ =$ ,          $ \gamma$ $ =$

(im Gradmaß)
$ \vert\vec{a}\vert^2$ $ =$ ,          $ \vert\vec{b}\vert^2$ $ =$ ,          $ \vert\vec{c}\vert^2$ $ =$
Quadrat des Flächeninhalts:


   

(Autoren: Höllig/Wollet)
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  automatisch erstellt am 9.6.2009