Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Lineare Algebra und Geometrie

Geraden und Ebenen

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Geben Sie die Gerade g durch die Punkte $ (1,-2,3), (-7,8,-9)$ in Punkt-Richtungs-Form an.

Antwort:
Punkt-Richtungs-Form:
$ \vec{x}=$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
1
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right) + t\,$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
10
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$  



   

(Autoren: Höllig/Wollet)
Bestimmen Sie die Projektion des Punktes $ Q=(7,9,0)$ auf die Gerade

$\displaystyle g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R},$

sowie den Abstand von $ Q$ zu $ g$ .

Antwort:
Projektion: $ ($ ,,$ )$

Abstand:


   

(Autoren: Höllig/Wollet)
Bestimmen Sie den Abstand der Gerade

$\displaystyle g: \begin{pmatrix}1\\ -6\\ 2\end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix}0\\ 8\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R},$

von den Geraden

a) $ h: \begin{pmatrix}7\\ -5\\ -5\end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix}1\\ -4\\ 0\end{pmatrix}, \quad s\in\mathbb{R}$          b) $ h: \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix}0\\ 8\\ 1\end{pmatrix},\quad s\in\mathbb{R}$

Antwort:

a)         b)


   

(Autoren: Geiger/Höllig)
#./vinteraufg251.tex#Zeigen Sie, dass die beiden Geraden

$\displaystyle g_1:\, \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+... ...ray}\right) + \thickspace t \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right) $


windschief sind, und berechnen Sie ihren Abstand sowie die Punkte $ P\in g_1$, $ Q\in g_2$, zwischen denen der Abstand angenommen wird.

Antwort:

$ P=($,,$ )$,     $ Q=($,,$ )$,     Abstand:

(auf drei Nachkommastellen gerundet)


  

[Andere Variante]
(Autor: Klaus Höllig)
[an error occurred while processing this directive] [an error occurred while processing this directive]
Zeigen Sie, dass die beiden Geraden

$\displaystyle g_1:\, \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+... ...rray}\right) + \thickspace t \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right) $


windschief sind, und berechnen Sie ihren Abstand sowie die Punkte $ P\in g_1$, $ Q\in g_2$, zwischen denen der Abstand angenommen wird.

[Andere Variante]
(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die zwei Geraden durch $ P=(1,5,3)$, die mit der Geraden durch

$\displaystyle Q = (0,1,2)$   und$\displaystyle \quad R = (7,8,9) $

ein gleichseitiges Dreieck begrenzen.
(Autor: Klaus Höllig)
Von einem Flugplatz starten Flugzeuge mit 20% Steigung in Richtung NNO und von einem 40km nördlich gelegenen Flugplatz mit 10% Steigung in Richtung SO. Berechnen Sie den Abstand der Flugkorridore.

Antwort:
    km

(auf drei Nachkommastellen gerundet)


   

(Autor: Klaus Höllig)
Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene durch die Punkte

$\displaystyle (1,-1,0), \quad (1,3,1), \quad (0,-1,2).$

Antwort:
$ x_1$		 $ +$
$ x_2$		 $ +$
$ x_3$		 $ =\quad1$


(Brüche vollständig gekürzt, Nenner positiv)


   

(Autoren: Geiger/Höllig)
Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene, die die Gerade

$\displaystyle g:\quad \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R},$

und den Punkt $ (3,1,-1)$ enthält.

Antwort:
$ x_1$		 $ +$
$ x_2$		 $ +$
$ x_3$		 $ =\quad 1$


(Brüche vollständig gekürzt, Nenner positiv)
  

[Andere Variante]
(Autoren: Höllig/Wollet)
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $ P=(5,3,8)$ von der Ebene

$\displaystyle E: 4x_1-x_2+8x_3=2$

sowie die Projektion von $ P$ auf $ E$.

Antwort:
Abstand (gekürzt, Nenner positiv): $ /$
Projektion:
$ \frac{1}{81}$ $ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$

  

[Andere Variante]
(Autoren: Höllig/Wollet)
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen $ E_1$ und $ E_2$ durch die Punkte $ P_1=(1,1,2),\; P_2=(1,0,-2)$ mit Normalen $ \vec{n_1}=(2,2,1)^\mathrm{t}$ und $ \vec{n_2}=(1,0,1)^\mathrm{t}$ sowie eine Parameterdarstellung der Schnittgerade.

Antwort:

Winkel (gekürzt, Nenner positiv): $ /$ $ \pi$

Schnittgerade:
$ \vec{x}=$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$ $ +\,t$ $ \left( \rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 2$
$ \left. \rule{0pt}{5ex}\right)$


   

(Autoren: Geiger/Höllig)
#./interaufg1322.tex#Spiegeln Sie den Punkt $ P=(-5,4,1)$ an der Ebene

$\displaystyle E_{1}:\quad x_{2}+x_{3}=-1$

.

Antwort:

gespiegelter Punkt: $ \big($, , $ \big)$
(auf vier Nachkommastellen gerundet)


   

(Autor: Joachim Wipper)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 9.6.2009