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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Analysis

Differentialrechnung

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Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich $ D_f\subseteq\mathbb{R}$ und die erste Ableitung der folgenden Funktionen $ f:D_f\to\mathbb{R}$:
a)     $ f(x)=\dfrac{2+x}{3-x}$          b)     $ f(x)=\sqrt{1-e^x}$          c)     $ f(x)=\ln(2+\sin x)$

Antwort: (Angaben ganzzahlig mit kleinstem positivem $ c$)

a)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{b}{(c-x)^d}$          mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$

b)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{be^x}{c\sqrt{d(1-e^x)}}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$

c)
$ D_f$:     $ (-\infty,\,a]$          $ [a,\,\infty)$          $ \mathbb{R}\setminus\{a\}$          $ \mathbb{R}$         mit    $ a =$

$ f^\prime(x) =$ $ \dfrac{b\cos x}{c+d\sin x}$        mit    $ b =$,        $ c =$,        $ d =$


  
[Andere Variante]
(Aus: 2. Scheinklausur HM I, K. Höllig, WS 2004/2005)

Bestimmen Sie den Koeffizienten $ k\in\mathbb{Z}$ des Terms $ x^3\sin x$ in der vierten Ableitung der Funktion

$\displaystyle f(x)=x^5\sin x \,. $

Antwort:


   

(Autor: Joachim Wipper)
Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die zehnte Ableitung an der Stelle $ x=0$.

$\displaystyle {a)}\quad f(x)=\frac{x^9}{\sqrt{1+x}} \qquad\qquad {b)}\quad f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^9}} $

Antwort:
a)          b)


   

(Autor: K. Höllig)
Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktionen

$\displaystyle y = \frac{\sin x}{\exp x}, \quad y = \exp (\sin x)$    und $\displaystyle \quad y = \sin x \exp x $

und ihrer Umkehrfunktionen an der Stelle $ x=0$.
#./aufgabe978.tex#Berechnen Sie für

$\displaystyle f(x)=x^3 \exp(x),\qquad g(x)=\exp \left(x^{999}\right) $

$ f^{(1000)}(x)$ und $ g^{(1000)}(0)$.

(Autoren: Brenner/Wipper)
Führen Sie ausgehend von den Startwerten $ 1,2$ und $ 3$ jeweils drei Schritte des Newton-Verfahrens durch, um eine Nullstelle des Polynoms $ p(x)=x^3-16x$ zu finden.

Lösung:

Geben Sie die Werte auf vier Dezimalstellen gerundet an:

Startwert $ x_0=1$ : $ x_1$= $ x_2$= $ x_3$=
Startwert $ x_0=2$ : $ x_1$= $ x_2$= $ x_3$=
Startwert $ x_0=3$ : $ x_1$= $ x_2$= $ x_3$=

   

(Autor: Hörner)
Zeigen Sie, dass durch die Newton-Iteration für $ f(x) = a-1/x$ der Kehrwert einer positiven Zahl $ a$ ohne Division berechnet werden kann. Führen Sie zwei Schritte des Verfahrens für $ a=3$ und $ x_0=1/2$ aus.

Antwort:

$ x_1=$ ,     $ x_2=$ .


   

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  automatisch erstellt am 9.6.2009