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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Analysis

Extremwerte Kurvendiskussion

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Welchen Weg muß ein Mensch im Punkt $ A$ einschlagen, um möglichst schnell zu der Insel $ I$ zu gelangen, wenn er fünfmal so schnell läuft, wie er zu schwimmen vermag?

\includegraphics[width=.7\linewidth]{A775_2_bild.eps}

Die Vorderfront eines Gewächshauses soll die Form eines achsensymmetrischen Fünfecks mit drei rechten Winkeln besitzen (vgl.Abbildung). Der Umfang darf maximal 20m betragen. Wie ist die Breite $ b$ und Höhe $ h$ der Seitenwand zu wählen, damit die Fläche $ A$ der Vorderfront maximal wird?

\includegraphics[width=3.5cm]{g25_bild1}

(Autor: Apprich)
Ein Stück Papier, das die Form eines Kreissektors mit Radius $ r$ und Sektorwinkel $ \varphi\in(0,2\pi)$ hat, wird an den gestrichelten Linien überlappungsfrei zusammengeklebt. Dabei entsteht ein Kreiskegel.

\includegraphics[width=.3\linewidth]{g61_bild1.eps}          $ \longrightarrow$          \includegraphics[width=.24\linewidth]{g61_bild2.eps}

Für welchen Winkel $ \varphi$ wird das Verhältnis von Kegelvolumen zu Mantelfläche maximal?

Antwort:

$ \varphi$ =

(Geben Sie den Wert auf vier Dezimalstellen gerundet an.)


   

(Autor: Joachim Wipper)
Berechnen Sie die lokalen und globalen Minima der Funktionen
\begin{displaymath}\begin{array}{rl@{\hspace*{1cm}}rl@{\hspace*{1cm}}rl}{{a)}} &... ...rm {e}}^{-x}\vert\cos x\vert <tex2html_comment_mark>\end{array}\end{displaymath}
auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich.

Antwort:
a) $ x_1=$ , $ f(x_1)=$ ,          global:          ja,          nein
b) $ x_1=$ , $ f(x_1)=$ ,          global:          ja,          nein
  $ x_2=$ , $ f(x_2)=$ ,          global:          ja,          nein
c) (nur Minimalstellen $ x_i\in [0,2\pi)$)
  $ x_1=$ , $ f(x_1)=$ ,          global:          ja,          nein
  $ x_2=$ , $ f(x_2)=$ ,          global:          ja,          nein

(Minimalstellen $ x_i$ aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)
   

(Autor: Klaus Höllig)
Wie groß kann das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen $ x$, $ 2x$ und $ y$ und einer Raumdiagonalen der Länge $ 30$ höchstens sein?


Antwort:

(auf zwei Dezimalstellen gerundet)
   

(Autor: Klaus Höllig)
Ein Landwirt möchte mit einem 120 m langen Zaun eine Weide möglichst großer Fläche einzäunen und dabei den vorhandenen Grenzzaun nutzen.

\includegraphics[width=13cm]{TdM_05_A2_bild.eps}

Bestimmen Sie die optimalen Breiten $ b$ und $ \widetilde{b}$ sowie die zugehörigen maximalen Flächen $ F$ und $ \widetilde{F}$ für die beiden abgebildeten Alternativen.


Antwort:
$ b$ $ =$ m,          $ F$ $ =$ m$ ^2$,          $ \widetilde b$ $ =$ m,          $ \widetilde F$ $ =$ m$ ^2$


   

(Aus: Tag der Mathematik 2005)
Bestimmen Sie die alle lokalen und globalen Extrema der Funktion

$\displaystyle f(x)=-x^2+4x-2$

im Intervall $ [0,3]$ sowie deren Typ.

Antwort:

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert)
  

[Andere Variante]
(Autor: Marco Boßle)
Bestimmen Sie die Extrema des Polynoms

$\displaystyle p(x) = x^3-x^2-x $

auf $ [-1,1]$ sowie deren Typ.

Antwort:

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)
   

(Autor: Marco Boßle)
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Untersuchen Sie die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{\vert x-1\vert}{x^2+1} $

auf Symmetrie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Asymptoten. Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extremwerte sowie die Wendepunkte der Funktion und skizzieren Sie den Graph von $ f$.
(Autor: Joachim Wipper)
Führen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x-1} $

eine Funktionsuntersuchung durch.

(Autor: K. Höllig)
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x} $

und skizzieren Sie den Graphen.


Antwort:
Nullstelle:
Polstelle:
Extremum: $ \Big($,$ \Big)$,          Typ: Minimum     Maximum ,          global: ja     nein
Wendepunkt: $ \Big($,$ \Big)$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Skizze:
Skizze 1 Skizze 2 Skizze 3 Skizze 4
\includegraphics[width=3cm]{a6_v2_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v3_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v1_l_bild.eps} \includegraphics[width=3cm]{a6_v4_l_bild.eps}

(auf vier Dezimalstellen gerundet)


  

[Andere Variante]
(Aus: 2. Scheinklausur HM I, K. Höllig, WS 2004/2005)
Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-3 $

an und bestimmen Sie Nullstellen und Extrema. Skizzieren Sie den Graph von $ f$.

Antwort:
Definitionsbereich: $ \mathbb{R}$        (0,$ \infty$)         [0,$ \infty$)
Nullstellen: ,
Extremum: $ \Big($ , $ \Big)$,          Typ: Maximum     Minimum
(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2005)
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$

Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen sowie lokale und globale Extrema $ (x_E,f(x_E))$.

Antwort:

Definitionsbereich: $ \big[\,$,$ \,\big] $
Wertebereich: $ \big[\,$,$ \,\big] $
Nullstelle:

Extrema Typ global?
$ ($ , $ )$ Maximum Minimum ja nein
$ ($ , $ )$ Maximum Minimum ja nein
$ ($ , $ )$ Maximum Minimum ja nein

(nach x-Werten aufsteigend sotiert, auf drei Dezimalstellen gerundet)
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Fruehling 2006)
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+x}{x^2-1}\,. $

Geben Sie die Asymptoten an und skizzieren Sie den Graphen.


Antwort:

Nullstelle:
Polstellen: ,
Extrempunkte: $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
  $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
Wendepunkt: $ \Big($ , $ \Big)$
Asymptote: $ y$ = $ x$ +

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)


   

(Autor: Marco Boßle)
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  automatisch erstellt am 9.6.2009