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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Aufgaben - Analysis

Integralrechnung

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Bestimmen Sie die Stammfunktionen von:
a)
$ \displaystyle \int\frac{{\rm {e}}^{-x}}{{\rm {e}}^x - 3}\,dx$
b)
$ \displaystyle \int\frac{x^3}{1+ x^2}\,dx\ $

Antwort:

a)
$ 1/$ $ \exp($ $ x)+1/$ $ \ln\vert$ $ \exp($ $ x)-$$ \vert+c$
b)
$ 1/$ $ x\wedge$ $ -1/$ $ \ln\vert$ $ +x\wedge$$ \vert+c$
(Wobei $ x\wedge k=x^k$)
   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 31. August 1992)
Bilden Sie Stammfunktionen von

$\displaystyle {{a)}} \quad \frac{(\ln x)^3}{x} \qquad\qquad {{b)}} \quad \cos^3 x\, \sin^5 x \qquad\qquad {{c)}} \quad \sqrt{4-x^2} $

(Autor: Klaus Höllig)
#./interaufg235.tex#Berechnen Sie

a)     $ \displaystyle\int\limits_0^\pi x \sin (2x)\, dx$                  b)     $ \displaystyle\int\limits_1^{\rm {e}} \ln x \,\frac{dx}{x}$                  c)     $ \displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+4} \,dx$

Antwort:
a) $ \,\pi/$         b) $ /$
c) $ \ln\Big\vert$$ x^2$ $ +$ $ x$ $ +$ $ \Big\vert$ $ +$ $ /$ $ \, \arctan\Big($$ x\,/$$ \Big) + c$
(Brüche gekürzt, Nenner positiv)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)
Geben Sie eine Stammfunktion der folgenden Integranden an und berechnen Sie die Integrale.
a)     $ \displaystyle\int\limits_0^\pi \cos^2 x \sin x \, dx$                  b)     $ \displaystyle\int\limits_0^1 x^3\ln x \, dx$

Antwort:

a)
Stammfunktion:
$ a\cos^3x+c$          $ a\cos x+c$          $ a\sin^4x+c$          mit $ a=$

Wert des Integrals:

b)
Stammfunktion:
$ b_1x^{-1}\ln x+b_2x^{-1}+c$          $ b_1x^{3/2}\ln x+b_2x^{3/2}+c$          $ b_1x^4\ln x+b_2x^4+c$

mit $ b_1=$ ,         $ b_2=$

Wert des Integrals:
(auf vier Dezimalstellen gerundet)
  
[Andere Variante]
(Aus: Scheinklausur HM2 Höllig SS05)
Berechnen Sie die Volumina der Körper, die durch Rotation der Kurve $ y=\sin x, \, 0\leq x \leq \pi/2$, um die $ x$- bzw.$ y$-Achse erzeugt werden.


Antwort:
Volumen bei Rotation um die $ x$-Achse:
Volumen bei Rotation um die $ y$-Achse:
(auf vier Dezimalstellen gerundet)
   

(Autor: Klaus Höllig)
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  automatisch erstellt am 9.6.2009