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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Mengen

Kartesisches Produkt

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Das kartesische Produkt zweier Mengen $ A$ und $ B$ ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen:

$\displaystyle A\times B = \{(a,b):\ a\in A\land b\in B\} \,. $

Es gilt

$\displaystyle (a,b) = (a',b') \Leftrightarrow (a=a' \land b=b') \,. $

d.h. im Gegensatz zu der Gleichheit von Mengen ( $ \{a,b\}=\{b,a\}$) ist die Reihenfolge wesentlich.

Für endliche Mengen gilt $ \vert A \times B\vert = \vert A\vert \cdot \vert B\vert$.

Entsprechend definiert man das $ n$-fache kartesische Produkt

$\displaystyle A_1\times \cdots \times A_n $

als die Menge aller geordneten Tupel $ (a_1,\ldots,a_n)$ mit $ a_i\in A_i$. Sind die Mengen gleich, so schreibt man $ A^n = A\times \cdots \times A$.
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  automatisch erstellt am 5.5.2011