Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik-Analysis-Funktionen-Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Funktionen
	Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite]

[Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Für die Kreisfunktionen $\sin t$ und $\cos t$ gelten folgende Beziehungen:

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\beta\cos\alpha + \sin\alpha\cos\beta$

Insbesondere ist

$\displaystyle \cos (2\alpha)=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha, \qquad \sin (2\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha.$

(Autor: J. Hörner)

Die Funktion

$\displaystyle u(t) = \cos ( w_1 t ) + \cos ( w_2 t )$

beschreibt die Überlagerung von zwei Schwingungen. Mit Hilfe der Additionstheoreme lässt sich die Darstellung vereinfachen. Mit $\overline{w} = \frac{1}{2} (w_1 + w_2)$ und $\Delta w = \vert w_1 - \overline{w} \vert$ folgt aus

$\displaystyle \cos (\overline{w} - \Delta wt)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos(\overline{w}t)\cos(\Delta wt) + \sin(\overline{w}t)\sin(\Delta wt)$
$\displaystyle \cos (\overline{w} + \Delta wt)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos(\overline{w}t)\cos(\Delta wt) - \sin(\overline{w}t)\sin(\Delta wt)$