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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Orthogonale Gruppen

Drehachse und Drehwinkel

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Jede Drehung $ Q$ im $ \mathbb{R}^3$ besitzt eine Drehachse, d.h. lässt einen Einheitsvektor $ u$ invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel $ \varphi$ in der zu $ u$ orthogonalen Ebene.

Bezüglich eines orthonormalen Rechtssystems $ u,v,w$ besitzt Q die Matrixdarstellung

$\displaystyle \tilde Q = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&\cos\varphi & -\sin\varphi \\ 0&\sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{array}\right) \,. $

Insbesondere gilt für den Drehwinkel

$\displaystyle \cos\varphi = \frac{1}{2}\left(\operatorname{Spur} Q - 1\right)\,. $

(Autoren: Höllig/Reble)
Für eine Drehmatrix $ Q$ ist

$\displaystyle Q^{-1} = Q^{\operatorname t}\,, \quad \vert\operatorname{det}\,Q\vert=1 \,. $

Da die Eigenwerte $ \lambda_i$ einer orthogonalen Matrix Betrag 1 haben und $ \lambda_1\lambda_2\lambda_3= \operatorname{det}\,Q=1$ ist, folgt, dass mindestens ein Eigenwert 1 ist. Es gilt nämlich bei geeigneter Numerierung entweder

$\displaystyle \lambda_1=\overline{\lambda_2}\,, \quad \lambda_1\lambda_2 = 1 $

oder

$\displaystyle \lambda_i \in \{-1,1\}\,. $

Der normierte Eigenvektor $ u$ zum Eigenwert 1 bestimmt die Drehachse.

Für ein orthonormales Rechtssystem $ u,v,w$ gilt

$\displaystyle Qu$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u$  
$\displaystyle Qv$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha v + \beta w$  
$\displaystyle Qw$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma v + \delta w \,.$  

Dass $ Qv, Qw$ keine $ u$-Komponente enthalten, folgt dabei aus der Winkeltreue orthogonaler Matrizen

$\displaystyle x\;\bot\; u \Rightarrow Qx\; \bot \; Qu = u \,. $

Schreibt man die obige Gleichungen in Matrixform,

$\displaystyle Q(\underbrace{u,v,w}_{P})=(u,v,w) \underbrace{\left(\begin{array... ... 0&\alpha&\gamma\\ 0&\beta&\delta\\ \end{array}\right)}_{\tilde Q} \,, $

folgt aus $ \tilde Q = P^{-1}QP$, dass

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{cc} \alpha&\gamma\\ \beta&\delta\\ \end{array} \right) \end{displaymath}

eine Drehmatrix ist. Man erhält ebenfalls

$\displaystyle \operatorname{Spur} Q = \operatorname{Spur} \tilde Q = 1 + 2 \cos\varphi $

aufgrund der Invarianz der Spur.
(Autoren: Höllig/Reble)
Die Matrix

$\displaystyle Q = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) $

ist eine Drehmatrix, denn

$\displaystyle Q^{\operatorname t}Q = \frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 4 & ... ...\\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right) = E \Rightarrow Q^{\operatorname t}= Q^{\ast} $

und

$\displaystyle \operatorname{det} Q = \operatorname{det} \frac{1}{2} \left( \beg... ...\\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) = + 1 \,. $

Die Drehachse bestimmt man als Eigenvektor $ u$ zum Eigenwert $ \lambda = 1$:

$\displaystyle \frac{1}{2} \underbrace{\left( \begin{array}{ccc} -1 & -\sqrt{2} ... ... \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\,. $

Den Drehwinkel $ \varphi$ bestimmt man aus

$\displaystyle \cos \varphi = \frac{1}{2}(\operatorname{Spur}Q-1) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0 $

als $ \varphi = \pm \frac{\pi}{2}$.

Das Vorzeichen von $ \varphi$ hängt von der Orientierung der Drehachsenrichtung $ u$ ab und kann mit Hilfe eines Rechtssystems $ \lbrace u,v,w\rbrace$ bestimmt werden:

$\displaystyle w^{{\operatorname t}} Q v = w^{{\operatorname t}} (\cos \varphi v + \sin \varphi w) = \sin \varphi\,. $

Mit

$\displaystyle v = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\,, \q... ...{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) $

folgt für das betrachtete Beispiel

$\displaystyle \sin \varphi = ( - \frac{1}{\sqrt{2}} \quad 0 \quad \frac{1}{\sqr... ...ay}{c} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) = 1 $

also $ \varphi = \frac{\pi}{2}$.
(Autor: Wipper)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011