Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche] Englische Flagge
Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Jordan-Normalform

Potenzen von Matrizen

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Die Potenzen $ A^n$, $ n=0,1,\ldots$, einer komplexen Matrix konvergieren genau dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte $ \lambda$ kleiner als $ 1$ ist.

Die Folge $ (A^n)$ bleibt beschränkt, wenn $ \vert\lambda\vert\le 1$ und für Eigenwerte mit Betrag $ 1$ die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Andernfalls divergiert die Folge, insbesondere dann, wenn ein Eigenwert mit Betrag größer als 1 existiert.

(Autoren: Höllig/Hörner)
Mit der Jordan-Form $ J = Q^{-1} A Q$ von $ A$ lassen sich die Matrix-Potenzen in der Form

$\displaystyle A^n = (Q J Q^{-1}) (Q J Q^{-1}) \cdots (Q J Q^{-1}) = Q J^n Q^{-1} $

schreiben. Es braucht also nur die Konvergenz der Potenzen von $ J$ untersucht zu werden. Aufgrund der Blockform von $ J$ kann man jeden Block $ J_i$ separat betrachten. Dazu schreibt man

$\displaystyle J_i = (\lambda_i E) + D \,, $

wobei $ D$ die Nebendiagonale mit Einsen enthält. Wie man leicht nachweist, ist $ D^m=0$ für einen Block der Dimension $ m$. Folglich gilt

$\displaystyle (J_i)^n = \lambda_i^n E + \binom{n}{1} \lambda_i^{n-1} D + \cdots + \binom{n}{m-1} \lambda_i^{n-m+1} D^{m-1} \,. $

Aus dieser Identität lassen sich die Konvergenzeigenschaften ablesen.

Für $ \vert\lambda_i\vert<1$ ist

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \binom{n}{j} \lambda_i^{n-j} = 0\,, $

da $ \binom{n}{j}$ nur polynomial wächst, hingegen $ \lambda_i^{n-j}$ exponentiell fällt.

Ist $ \vert\lambda_i\vert=1$ bleibt die Folge nur beschränkt, wenn $ m=1$, d.h., wenn keine Nebendiagonale mit Einsen existiert.

(Autoren: Höllig/Hörner)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 21.4.2005