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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM II - Differentialgleichungssysteme

Die Matrixexponentialfunktion

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Definition.

Es sei $ n\ge 1$ und $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ . Wir definieren

$\displaystyle \exp(A) \; :=\; \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} A^k \; =\; \math... ...+ \frac{1}{2} A^2 + \frac{1}{6} A^3 + \cdots \;\in\;\mathbb{C}^{n\times n}\; . $

Diese Reihe konvergiert eintragsweise für alle $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ , und liefert wieder eine Matrix in $ \mathbb{C}^{n\times n}$ . Manchmal schreibt man auch $ e^A := \exp(A)$ .

Eigenschaften.

Sind $ A,\, B\,\in\,\mathbb{C}^{n\times n}$ , und ist $ AB = BA$ , so ist $ \exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ .

Ist $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ , und ist $ S\in\mathbb{C}^{n\times n}$ invertierbar, so ist $ \exp(S^{-1}AS) = S^{-1}\exp(A) S$ .

Sind $ A_i\in\mathbb{C}^{n_i\times n_i}$ für $ 1\le i\le m$ , und für gewisse $ n_i\ge 1$ , so ist

$\displaystyle \exp(\mathrm{diag}(A_1,\dots,A_m)) \; =\; \mathrm{diag}(\exp(A_1),\dots,\exp(A_m))\; , $

d.h. $ \exp$ für eine Blockdiagonalmatrix berechnet sich blockweise. Ferner ist $ \exp((z)) = (\exp(z))$ für $ (z)\in\mathbb{C}^{1\times 1}$ .

In der Regel stellt sich die Frage nach der Berechnung von $ \exp(tA)$ mit $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und einem Parameter $ t\in\mathbb{C}$ .

Einsetzen von Jordanblöcken.

Seien $ k\ge 1$ und $ \lambda\in\mathbb{C}$ gegeben. Wir erinnern an die Bezeichnungsweise

$\displaystyle \mathrm{J}_k(\lambda) \; =\; \left(\begin{array}{cccc} \lambda ... ... & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{array}\right)\in\mathbb{C}^{k\times k} $

für einen Jordanblock der Kantenlänge $ k$ zum Eigenwert $ \lambda$ . Nicht erwähnte Einträge seien vereinbarungsgemäß gleich 0 .

Für $ t\in\mathbb{C}$ wird nun

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \exp(t\;\mathrm{J}_k(\lambda)) &=& \exp(... ...\ \end{array}\right)\in\mathbb{C}^{k\times k} \; , \end{array}\end{displaymath}

wobei $ \exp(t\lambda)$ einen skalaren Vorfaktor darstellt.

Berechnung von $ \exp(tA)$ allgemein.

Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ . Berechne die Jordanform von $ A$ in der Form

$\displaystyle A \; =\; S\,\mathrm{diag}\big(\mathrm{J}_{n_1}(\lambda_1),\mathrm{J}_{n_2}(\lambda_2),\dots,\mathrm{J}_{n_m}(\lambda_m)\big)\, S^{-1} $

mit $ S\in\mathbb{C}^{n\times n}$ invertierbar, und den sich ergebenden $ n_i$ und $ \lambda_i$ für $ 1\le i\le m$ . Für $ t\in\mathbb{C}$ ist dann

$\displaystyle tA \; =\; S\,\mathrm{diag}\big(t\;\mathrm{J}_{n_1}(\lambda_1),t\;\mathrm{J}_{n_2}(\lambda_2),\dots,t\;\mathrm{J}_{n_m}(\lambda_m)\big)\,S^{-1} $

Mit obigen Regeln folgt

$\displaystyle \exp(tA) \; =\; S\exp\big(\mathrm{diag}\big(t\;\mathrm{J}_{n_1}(... ...}(\lambda_2)),\dots,\exp(t\;\mathrm{J}_{n_m}(\lambda_m))\big)\big) S^{-1} \; , $

worin man nun die oben angegebene Formel für $ \exp(t\;\mathrm{J}_{n_i}(\lambda_i))$ einsetzen kann.

Entsprechend ergibt sich $ \exp(A)$ im Spezialfall $ t = 1$ , sollte das einmal gefragt sein.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Beispiele

Aufgaben

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  automatisch erstellt am 16.2.2011