Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Kristallographische Gruppen-Grundlagen-Kristallographische Gruppen

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kristallographische Gruppen - Grundlagen
	Kristallographische Gruppen

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Eine Untergruppe $G \leq AO(n,\mathbb{R})$ heisst kristallographisch, wenn ein Raumgitter $\Gamma$ existiert, so dass $G \cap T =: T_\Gamma$ das Raumgitter $\Gamma$ invariant lässt.

Hierbei bezeichnet $AO(n,\mathbb{R})$ die Gruppe der Bewegungen in $\mathbb{R}^n$ und die Gruppe der Translationen in $\mathbb{R}^n$ .

Bemerkungen:

$\Gamma$ ist durch eindeutig bestimmt.
$T_\Gamma$ heisst Translationsnormalteiler von .
$G_0 := G / T_\Gamma$ heisst Punktgruppe von .
Obiger Definition einer kristallographischen Gruppe entspricht die folgende kurze exakte Sequenz:

$\displaystyle 1 \longrightarrow \mathbb{Z}^{n} \longrightarrow G \longrightarrow G_0 \longrightarrow 1$

mit endlich. Wobei $\mathbb{Z}^{n}$ ein $\mathbb{Z}G_0$ Gitter ist.
Die auftretenden Punktgruppen sind endliche Untergruppen der $O(n,\mathbb{R})$ . Eine Klassifikation dieser Untergruppen bietet somit die Möglichkeit auch die Punktgruppen (und damit die kristallographischen Gruppen selbst) zu klassifizieren.

(Autor: Baur)

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automatisch erstellt am 14.11.2008