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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Kristallographische Gruppen - Kristallographische Punktgruppen

Untergruppen der O(3), die nicht in SO(3) liegen

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Sei $ G$ eine Untergruppe von $ O(3,\mathbb{R})$ , mit $ G \not\leq SO(3,\mathbb{R})$ . Dann gibt es folgende Möglichkeiten:

  1. Falls $ -E\in G$ , dann ist $ G$ = $ H \times <-E>$ für eine Untergruppe $ H$ von $ SO(3,\mathbb{R})$ .

    Umgekehrt ist für $ H\leq SO(3,\mathbb{R})$ stets auch $ H \times <-E>$ eine Untergruppe von $ O(3,\mathbb{R})$ .

  2. Falls $ -E\not\in G$ , dann existieren $ H,K\leq SO(3,\mathbb{R})$ mit $ K < H$ und $ \mid H:K \mid =2$ , so dass $ G$ = $ K \cup \left(H\setminus K\right)(-E)$ . Dabei ist $ G \cong H$ .

    Umgekehrt ist $ H\leq SO(3,\mathbb{R})$ , $ K\leq H$ mit $ \mid H:K \mid =2$ , dann ist $ K \cup \left(H\setminus K\right)(-E)$ eine Untergruppe von $ O(3,\mathbb{R})$ .

Dabei bezeichne $ E$ die Einheitsmatrix in $ O(3,\mathbb{R})$ .

(Autor: Baur)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008