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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Abelsche Gruppen - Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

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Sei $ A$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, dann ist $ A$ in folgender Weise zerlegbar:
1.)
Elementarteilerversion
Es gibt ein $ n\in \mathbb{N}$ und $ n_1, \ldots ,n_k \in \mathbb{N}$, so dass

$\displaystyle A \cong \ \mathbb{Z}^n \times \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z} $

mit

$\displaystyle 2\leq n_i$    und $\displaystyle n_i\vert n_{i+1}$    für jedes $\displaystyle i. $

2.)
Zerlegung in Unzerlegbare
Es gibt paarweise verschiedene Primzahlen $ p_1, \ldots , p_m$ und Werte $ a_{i,j} \in \mathbb{N}$, so dass

\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} A \cong & \mathbb{Z}^n \times & \mathbb{Z... ...s \times \mathbb{Z}/p_m^{a_{m,k_m}}\mathbb{Z}, \par \end{array}\end{displaymath}


mit

$\displaystyle a_{i,l} \leq a_{i,l+1}$    für alle $\displaystyle l \in \{1, \ldots, k_i -1 \}. $

Alle direkten Summanden sind unzerlegbar, und die Zerlegung ist bei gleicher Nummerierung der Primzahlen $ p_i$ eindeutig, d.h. $ n$ und $ a_{i,j}$ mit $ 1 \leq i \leq m , 1 \leq j \leq k_i$ sind dann eindeutig bestimmt.

Bemerkung: $ \mathbb{Z}^n$ ist der (unendliche) freie Anteil von $ A$ und ist in beiden Zerlegungen gleich. Der Unterschied zwischen der Elementarteilerversion und der Zerlegung in unzerlegbare Faktoren besteht in der Darstellung des Torsionsanteils. Man beachte, dass der Torsionsanteil aus allen Torsionselementen von $ A$ besteht und somit eindeutig ist, während der freie Anteil nur bis auf Isomorphie bestimmt ist und nicht alle torsionsfreien Elemente der Gruppe beinhaltet.
(Autoren: Kimmerle/Höfert)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008