Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Permutationsgruppen-Permutationsdarstellungen und G-Mengen-Permutationsdarstellung und G-Menge

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen
	Permutationsdarstellung und G-Menge

Sei

eine Gruppe.

(a)

Einen Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \ \rightarrow \ S_n$ nennt man Permutationsdarstellung von

vom Grad

(b)

Unter einer Linksoperation einer Gruppe

auf einer Menge

versteht man eine Multiplikation $G \times M \rightarrow M$ mit $(g,m) \mapsto g \cdot m$ mit

(i): $\forall m \in M: \ e \cdot m = m$ .
(ii): $\forall g,h \in G \ \forall m\in M: \ g\cdot (h \cdot m) = (g \cdot h) \cdot m$ .

Eine Menge

nennt man eine

Linksmenge, wenn

mit einer Linksoperation einer Gruppe

versehen ist.
Ersetzt man (ii) durch

(ii) $^\ast$: $\forall g,h \in G \ \forall m\in M: \ g\cdot (h \cdot m) = (h \cdot g) \cdot m$ .

so spricht man von einer Rechtsoperation auf

bzw. von einer

Rechtsmenge.

Bemerkung:

Allgemeiner nennt man für eine beliebige Menge einen Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \rightarrow Sym(M)$ eine Permuationsdarstellung von . Die Definition in (a) ist dann ein Spezialfall für $M=\{1, \ldots ,n\}$ .
In der Regel betrachtet man nur Linksmengen und bezeichnet diese als Mengen. Die erhaltenen Aussagen gelten aber analog für Rechtsmengen.

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

automatisch erstellt am 14.11.2008