Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Permutationsgruppen-Permutationsdarstellungen und G-Mengen-Entsprechung von Permutationsdarstellung und G-Menge

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen
	Entsprechung von Permutationsdarstellung und G-Menge

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(a)

Sei $\varphi: G \rightarrow Sym(M)$ eine Permutationsdarstellung, dann wird

durch

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} G \times M & \longrightarrow & M\\ (g,m) & \longmapsto & \varphi (g)(m) =: g \cdot m \end{array}\end{displaymath}$

zu einer

Menge.

Schreibweise: $M_{\varphi} .$

(b)

Ist

eine

Menge, dann ist

$\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \varphi:& G &\longrightarrow &Sym(M) \\ & g &\longmapsto &(\mu_g: x \mapsto g\cdot x) \end{array}\end{displaymath}$

eine Permutationsdarstellung.

Schreibweise: $\varphi_M .$

Es lässt sich also jeder Permutationsdarstellung eine Menge zuordnen und umgekehrt. Die Begriffe Permutationsdarstellung und Menge sind daher gleichwertig.

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

a)

Da $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt $\varphi(e)=id$ . Daher gilt für alle $m \in M$ :

$\displaystyle \varphi(e)m=id(m)=m \,.$

Sind $g,h \in G$ und $m \in M$ , dann ist

$\displaystyle (gh)\cdot m = \varphi(gh)(m)=[\varphi(g)\circ \varphi(h) ](m)=\varphi(g)(\varphi(h)(m))=g \cdot(h \cdot m) \,.$

ist also eine

Menge.

b)

Zunächst ist zu zeigen, dass $\mu_g$ eine Bijektion ist.

$\mu_g$ ist injektiv: Sei $\mu_g(m)=\mu_g(\tilde{m})$ . Es gilt dann

$\displaystyle g\cdot m= g \cdot \tilde{m} \ \Longrightarrow \ g^{-1}\cdot (g \c... ...g^{-1}g)\cdot m = (g^{-1}g)\cdot \tilde{m} \ \Longrightarrow \ m=\tilde{m} \,.$
$\mu_g$ ist surjektiv: Sei $m_0 \in M$ gegeben. Dann gilt

$\displaystyle g^{-1}\cdot m_0 \in M \ \Longrightarrow \ \mu_g(g^{-1} \cdot m_0)=m_0 \,.$

Es bleibt noch zu zeigen, dass $\varphi$ ein Homomorphismus ist. Es gilt jedoch

$\displaystyle \varphi(gh)=\left [ \mu_{gh}\ : \ m \mapsto (gh)\cdot m\right]=\l... ... \mu_h \ : \ m \mapsto g\cdot(h \cdot m)\right]=\varphi(g)\circ \varphi(h) \,.$

$\varphi$ ist also eine Permutationsdarstellung.

(Autoren: Höfert/Kimmerle )

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automatisch erstellt am 14.11.2008