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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen

Bahn; einfache, transitive, treue Permutationsdarstellung; Permutationsgruppe

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Sei $ G$ eine Gruppe, $ X$ eine $ G-$Menge und $ \varphi: G \rightarrow Sym(M)$ eine Permutationsdarstellung.
(a)
Die Menge

$\displaystyle Gx := \{g\cdot x \ \vert \ g \in G \}$

nennt man die Bahn von $ x$ unter $ G$.
(b)
$ X$ nennt man einfach, wenn $ X$ nur aus einer einzigen Bahn besteht.
Man nennt einfache $ G-$Mengen auch häufig transitive $ G-$Mengen.
(c)
$ \varphi $ nennt man treu, wenn $ \varphi $ injektiv ist.
(d)
$ \varphi $ nennt man transitiv, wenn es zu jeden $ m, n \in M$ ein $ g \in G$ gibt mit $ \varphi(g)(m) = n .$
(e)
$ U \leq S_n$ nennt man eine Permutationsgruppe vom Grad $ n$.
$ U$ heißt transitiv, wenn $ \forall i,j \in \{1, \dots , n \}$ ein $ u \in U$ existiert mit $ u(i) = j .$
(Autoren: Höfert/Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008