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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen

Bahnenlemma

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Für eine Gruppe $ G$ sei $ M$ eine $ G-$Menge und $ B$ eine Bahn von $ G$. Weiter sei $ b\in B$.
a)
$ St(b):= \{ g\in G \ ; \ gb=b \}$ ist eine Untergruppe von $ G$. $ St(b)$ heißt Stabilistator von $ b$.
b)
$ B$ ist eine $ G-$Menge isomorph zu $ G/St(b)$. Insbesondere ist, wenn $ B$ endlich ist, die Länge einer Bahn gleich dem Index des Stabilisators in $ G$, d.h.

$\displaystyle \vert B\vert=\vert G:St(b)\vert \,. $

Man beachte, dass insbesondere dann alle Bahnen endlich sind, wenn $ G$ endlich ist.
c)
Sind $ b,b' \in B$, dann existiert ein $ g\in G$ mit

$\displaystyle St(b)=g^{-1}St(b)g \,. $

Stabilisatoren von Elementen aus der gleichen Bahn sind also zueinander konjugiert.
(Autoren: Höfert/Kimmerle)
a)
Seien $ x,y \in St(b)$. Dann ist

$\displaystyle y \cdot x^{-1}\cdot b=y \cdot x^{-1} \cdot x \cdot b=y \cdot b =b \,. $

Also ist auch $ y \cdot x^{-1} \in St(b)$ und das Untergruppenkriterium zeigt $ St(b) \leq G$.
b)
Man definiere die Abbildung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \mu:& G/St(b) & \longrightarrow & B \\ & gSt(b) & \longmapsto& g \cdot b \end{array} \,. \end{displaymath}

$ \mu$ ist wohldefiniert, denn für $ gSt(b)=\tilde{g}St(b)$ gibt es ein $ x \in St(b)$ mit $ g \cdot x=\tilde{g}$. Es ist dann

$\displaystyle g^{-1}\tilde{g}=x \in St(b) \ \Longrightarrow \ g^{-1}\tilde{g}b=b \ \Longrightarrow \ \tilde{g}b=gb \,.$

Also ist $ \mu(gSt(b))=\mu(\tilde{g}St(b))$.

$ \mu$ ist injektiv, denn es gilt

$\displaystyle gb=\tilde{g}b \ \Longrightarrow \ g^{-1}\tilde{g}b=b \ \Longrightarrow \ g^{-1}\tilde{g} \in St(b) \ \Longrightarrow \ gSt(b)=\tilde{g}St(b) \,. $

$ \mu$ ist surjektiv, denn für vorgegebenes $ \tilde{b} \in B$ existiert ein $ g\in G$ mit $ gb =\tilde{b}$. Damit ist dann $ \mu(gSt(b))=g\cdot b=\tilde{b}$.

$ \mu$ ist $ G-$linear, denn es gilt

$\displaystyle \mu\left(h\cdot \left(g \cdot St(b)\right)\right)=\mu\left ((hg)St(b)\right)=(hg)\cdot b=h\cdot (g \cdot b)=h\cdot \mu\left(gSt(b)\right)\,. $

c)
Sind $ b,b' \in B$, dann existiert ein $ g\in G$ mit $ bg=b'$. Sei $ x \in St(b')$, dann betrachte man $ g^{-1}xg$. Es gilt

$\displaystyle (g^{-1}xg)\cdot b=(g^{-1}x)\cdot(gb)=g^{-1}x \cdot b'=g^{-1}\cdot b'=b \,. $

Also ist $ g^{-1}xg \in St(b)$, für alle $ x \in St(b)$ und es gilt $ g^{-1}St(b')g\subseteq St(b)$. Analog zeigt man mit $ g^{-1}$ und $ g^{-1}\cdot b'=b$, dass $ St(b)=(g^{-1})^{-1}St(b)g^{-1} \subseteq St(b')$ und damit

$\displaystyle g^{-1}\left(gSt(b)g^{-1} \right)g \subseteq g^{-1}St(b')g \subseteq St(b) $

gilt. Insgesamt ist also $ g^{-1}St(b')g=St(b)$.

(Autoren: Höfert/Kimmerle )
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  automatisch erstellt am 14.11.2008