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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen

Das Cauchy-Frobenius-Lemma, "Lemma von Burnside"

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Sei $ X$ eine endliche $ G-$Menge und $ m$ die Anzahl der Bahnen von $ X$.
Für $ g\in G$ bezeichne $ \chi(g)$ die Anzahl der Elemente von $ X$, die von $ g$ fixiert werden, d.h. $ \chi(g)=\vert\{x\in X \ ; \ gx=x \}\vert$. Dann gilt

$\displaystyle m=\frac{1}{\vert G\vert}\sum \limits_{g\in G}\chi(g) $

Bemerkung: Das Lemma wird fälschlicherweise oft ''Lemma von Burnside'' genannt. Da diese Bezeichnung sehr weit verbreitet ist, heißt es manchmal auch scherzhaft "das Lemma das nicht von Burnside ist".

(Autoren: Höfert/Kimmerle)
Im folgenden Beweis bezeichnet $ G_x=\{ g\in G \ ; gx=x\}$ den Punktstabilisator eines Elements $ x\in X$, $ \{B_1 , \ldots , B_m\}$ die Bahnen unter der Operation von $ G$ und $ x_i$ einen Repräsentanten der Bahn $ B_i$.

Wird $ x$ von $ g$ fixiert, dann ist umgekehrt $ g\in G_x$. Man erhält die Gleichung

$\displaystyle \sum\limits_{g \in G} \chi (g)=\sum \limits_{x \in X} \vert G_x\vert \,. $

Diese Summe kann nun in die einzelnen Bahnen aufgespalten werden. Beachtet man dabei, dass die Punktstabilisatoren innnerhalb einer Bahn gleich groß sind, so ergibt sich

$\displaystyle \sum \limits_{x \in X} \vert G_x\vert=\sum \limits_{i=1}^m \vert B_i\vert\cdot \vert G_{x_i}\vert \,. $

Verwendet man nun, dass die Länge der Bahn gleich dem Index des Punktstabilisators in $ G$ ist, dann sieht man, dass

$\displaystyle \sum \limits_{i=1}^m \vert B_i\vert\cdot \vert G_{x_i}\vert= \sum... ... \vert B_i\vert \cdot \frac{\vert G\vert}{\vert B_i\vert}=m\cdot \vert G\vert $

gilt. Insgesamt ist also

$\displaystyle \sum\limits_{g \in G} \chi (g)=m\cdot \vert G\vert \,, $

und die Behauptung ist gezeigt.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008