Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Permutationsgruppen-Permutationsdarstellungen und G-Mengen-Satz von Cayley

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	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Permutationsgruppen - Permutationsdarstellungen und G-Mengen
	Satz von Cayley

Jede endliche Gruppe

ist isomorph zu einer Untergruppe von $S_{\vert G\vert}$ .

Bemerkungen:

Den Satz von Cayley erhält man als Sonderfall des folgenden, allgemeineren Resultats für .

Sei eine Unterguppe der endlichen Gruppe . Dann wird die Menge der Linksnebenklassen zu einer Menge, indem die Elemente von durch Multiplikation (von links) operieren. Jede Untergruppe liefert also eine Permutationsdarstellung $\varphi_{G/H}$ von .

Der Grad von $\varphi_{G/H}$ ist $\vert G/H\vert$ und $\varphi_{G/H}$ ist genau dann treu, wenn $\bigcap \limits_{g \in G}H^g=1$ gilt.
Eine treue und transitive Permutationsdarstellung erhält man genau von jenen Untergruppen , die keinen Normalteiler $\neq 1$ von enthalten.
Der Satz von Cayley zeigt, dass man mit jeder Gruppe via Permutationen rechnen kann. Das Rechnen mit Permutationen kann leicht auf einem Computer implementiert werden und liefert daher die Grundlage für viele Computeralgebrasysteme. Eines der ersten Computeralgebrasysteme hieß CAYLEY.

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

automatisch erstellt am 14.11.2008