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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Einleitung - Grundlegende Definitionen und Notationen

Gruppenhomomorphismus

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Seien $ (G,\diamond)$ und $ (H,\ast)$ Gruppen. Eine Abbildung

$\displaystyle \varphi: G \rightarrow H $

heißt Gruppenhommomorphismus, wenn gilt

$\displaystyle \forall g_1,g_2 \in G : \varphi(g_1 \diamond g_2) = \varphi(g_1) \ast \varphi(g_2) \, . $

Ist der Gruppenhomomorphismus $ \varphi $ bijektiv, so heißt $ \varphi $ Isomorphismus. Schreibweise: $ G \cong H$

Ein Gruppenhomomorphismus $ \varphi : G \rightarrow G$ heißt Endomorphismus. Einen bijektiven Endomorphismus nennt man Automorphismus.

Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe $ G$ wird mit $ Aut(G)$ bezeichnet. Sie bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe.
Für zwei Automorphismen $ \varphi , \psi \in Aut(G)$ und $ g \in G$ gilt

$\displaystyle (\varphi \circ \psi)(g)=\varphi(\psi(g)) \in G \,. $

Für die Automorphismen $ \varphi , \psi , \chi \in Aut(G)$ gilt

$\displaystyle \left [(\varphi \circ \psi) \circ \chi \right](g)=(\varphi \circ ... ...hi((\psi \circ \chi)(g))=\left [\varphi \circ (\psi \circ \chi)\right ](g) \,. $

Es gilt also das Assoziativgesetz $ (\varphi \circ \psi) \circ \chi =\varphi \circ (\psi \circ \chi)$.

Das neutrale Element von $ Aut(G)$ ist der Automorphismus

$\displaystyle id_G: G \longrightarrow G \ ; \ g \longmapsto g \,. $

Mit $ \varphi \in Aut(G)$ ist auch die Umkehrabbildung $ \varphi^{-1}$ ein Automorphismus von $ G$, und es gilt

$\displaystyle \varphi \circ \varphi^{-1} =\varphi^{-1} \circ \varphi =id_G \,. $

(Autor: Höfert )
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  automatisch erstellt am 14.11.2008