Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie-Klassische Matrixgruppen-Lorentz-Gruppe-Minkowski-Raum

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Lorentz-Gruppe
	Minkowski-Raum

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite]

[Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Sei

eine symmetrische Bilinearform auf $\mathbb{R}^{4}$ definiert durch:

$\displaystyle h(x,y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} - x_{4}y_{4} = x^{t... ...begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \cdot y.$

Dann heisst das Paar $(\mathbb{R}^{4}, h)$ Minkowski-Raum.

Physikalische Interpretation:
Wählt man $\cal B$ = $\{ e_{1}, e_{2}, e_{3}, \frac{e_{4}}{c}\}$ als Basis von $\mathbb{R}^{4}$ , wobei die Lichtgeschwindigkeit ist, so hat bzgl. dieser Basis folgende Darstellung:

$\displaystyle \tilde{h}(x,y) = \tilde{x}_{1}\tilde{y}_{1} + \tilde{x}_{2}\tilde... ...ix}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-c^{2} \end{pmatrix} \cdot \tilde{y}.$

Es werden folgende Bezeichnungen eingeführt:

Die Menge $\cal K$ = $\{ v \in \mathbb{R}^{4} \hspace{0.2cm}\vert \hspace{0.2cm} h(v,v) = 0 \}$ heisst der Lichtkegel und die Vektoren aus $\cal K$ heissen die Lichtvektoren.
Vektoren mit < 0 heissen zeitartig.
Vektoren mit > 0 heissen raumartig.

Sind $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ die räumlichen Koordinaten eines Punktes, $x_{4} = t$ die Zeit, so werden die 4-Tupel $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t)$ Weltpunkte genannt. Ein vom Raumpunkt

ausgehendes Lichtsignal erreicht im Vakuum zur Zeit

gerade die Raumpunkte $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t)$ mit

$\displaystyle x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = c^{2}t^{2},$

d.h. Lichtvektoren sind genau die Weltpunkte, welche das Lichtsignal irgendwann erreicht.

Die zeitartigen Vektoren sind die Weltpunkte, welche von

aus mit einem Signal erreicht werden können, dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner ist, als die Lichtgeschwindigkeit.

Nimmt man die Hypothese an, dass sich keine Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann (eine der Behauptungen der speziellen Relativitätstheorie), so stehen die Raumvektoren in keinerlei Kausalzusammenhang mit dem Weltpunkt

(Autor: Borgart)

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite]

[Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

automatisch erstellt am 14.11.2008