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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Lorentz-Gruppe

Struktur der Lorentz-Gruppe

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$ SO^{+}(3,1)$ ist ein Normalteiler von $ O(3,1) \hspace{4cm} (1)$.
Um die Struktur der Lorentz-Gruppe zu beschreiben, reicht es alle Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$ in $ O(3,1)$ zu bestimmen. Es gilt

$\displaystyle \vert O(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert\hspace{0.2cm}= \hspace{0.2cm} 4. \hspace{3cm} (2)$

Sei $ C = (\zeta_{ij})_{1 \geq i,j \geq 4}\not \in SO^{+}(3,1)$, dann gibt es 3 Fälle:
  1. det$ C$ = 1 und $ \zeta_{44} \leq -1$. Beispiel: $ C_{1} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$
  2. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \geq -1$. Beispiel: $ C_{2} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$
  3. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \leq 1$. Beispiel: $ C_{3} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}\\ \\ $
Die Matrizen $ E_{4}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ sind paarweise nicht verbindbar sind, d. h. sie liegen in paarweise verschiedenen Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$.Also gilt insgesamt:

$\displaystyle O(3,1) = SO^{+}(3,1) \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{1} \cdot SO... ...^{+}(3,1)\big{]} \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{3} \cdot SO^{+}(3,1)\big{]}.$

(Autor: Borgart)
Dazu reicht es zu zeigen, dass $ SO^{+}(3,1)$ eine Einszusammenhangskomponente ist.
  1. $ E_{4} \in SO^{+}(3,1).$
  2. $ SO^{+}(3,1)$ ist zusammenhängend, denn:
    Sei $ A \in SO^{+}(3,1)$. Dann gibt es eine Produktdarstellung $ A = \tilde{R} \cdot B(t)\cdot \tilde{S}$ mit $ R,S \in SO(3)$ und $ t \in \mathbb{R}.$

    Die Matrix $ B(t)$ ist mit $ E_{4}$ verbindbar über den Weg

    $\displaystyle \gamma \; : \;[0,1] \rightarrow SO^{+}(3,1), \hspace{0,3cm} s \mapsto B((1-s)t).$

    Die Menge $ SO(3)$ ist zusammenhängend. Also sind auch $ \tilde{R}, \tilde{S}$ mit $ E_{4}$ verbindbar. Damit sind $ A$ und $ E_{4}$ verbindbar.
  3. Es bleibt noch zu zeigen, dass es keine Matrix $ C = (\zeta_{ij})_{1 \geq i,j \geq 4} \hspace{0.3cm} \not \in \hspace{0.15cm} SO^{+}(3,1)$ mit einer Verbindung zu $ E_{4}$ gibt:

    Ist $ C \not \in SO^{+}(3,1)$, so gibt es 2 Möglichkeiten:
    1. $ C \in O(3,1) \setminus SO(3,1)$, d.h. det$ C$ = -1.
      Wäre $ C$ mit $ E_{4}$ über den Weg $ \gamma$ verbindbar, so wäre $ det \circ \gamma$ ein Weg von -1 nach 1 in $ \mathbb{R}^\times$, was nicht sein kann.
    2. $ C \in SO(3,1) \setminus SO^{+}(3,1)$, d.h. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \leq -1$.
      Sei $ \rho : O(3,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $ C \mapsto \zeta_{44}$ die Projektion auf den letzten Hauptdiagonaleneintrag. Wäre $ C$ mit $ E_{4}$ über den Weg $ \gamma$ verbindbar, so wäre $ \rho \circ \gamma$ analog zum Fall (1) ein Weg von -1 nach 1 in $ \mathbb{R}^\times$.

(Autor: Borgart)
Wegen $ SO^{+}(3,1) \lhd SO(3,1) \lhd O(3,1)$ gilt:

$ \vert O(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert\hspace{0.3cm}= \hspace{0.3cm}\underbrace{\vert O... ...{(1)} \cdot \underbrace{\vert SO(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert}_{(2)} = 2 \cdot 2 = 4.$
zu (1):
$ \hspace{0.5cm} det: O(3,1) \rightarrow \{\pm 1\}$ ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern $ SO(3,1)$

$\displaystyle \Rightarrow O(3,1)/SO(3,1) \cong \{\pm 1\}.$

zu (2):
$ \hspace{0.5cm}\rho: SO(3,1) \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $ \rho$(( $ \zeta_{ij})$) = $ sign(\zeta_{44})$ ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern $ SO^{+}(3,1).$

Damit gilt $ \hspace{1cm} SO(3,1)/SO^{+}(3,1) \cong \{\pm 1\}.$

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008