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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Lorentz-Gruppe

Isomorphe der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{E}


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Wir betrachten die Menge $ V = \{ X \in Mat(2, \mathbb{C}) \mid \overline{X}^{\,t} = X \}$ der hermiteschen 2$ \times$2-Matrizen zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform $ \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}:$

$\displaystyle \sigma(X,Y) = -\frac{1}{2}\Big{[} det(X+Y) - detX - detY \Big{]} $

Durch Nachrechnen erhält man: $ \hspace{0.5cm}V = \Big{\{} \begin{pmatrix}\alpha & \bar{z}\\ z & \beta \end{pm...
...\beta \in \mathbb{R} \hspace{0.4cm} und \hspace{0.4cm} z \in \mathbb{C}\Big{\}}$
Wir definieren $ \phi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow V,\hspace{1cm}
\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\...
...pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}a+d & b + ic\\
b - ic & -a+d \end{pmatrix}$.
$ \phi$ ist eine Isometrie von $ (\mathbb{R}^{4}, h)$ nach $ (V,\sigma)$, d. h. $ O(3,1) \cong O(V, \sigma)$.
Insbesonders gilt dann, dass $ SO^{+}(3,1)\hspace{0.2cm}\cong\hspace{0.2cm} L$, wobei $ L \le O(V, \sigma)$.
Es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle SO^{+}(3,1) \hspace{0.2cm} \cong \hspace{0.2cm}L \hspace{0.2cm}
\cong \hspace{0.2cm}SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\} \hspace{3cm}(1)$

Als einfache Folgerung aus dieser Isomorphie erhält man folgendes Ergebnis:

$\displaystyle SU(2) / \{\pm E\} \cong SO(3) \hspace{3cm}(2)$

(Autor: Borgart)

Wir betrachten folgende Abbildung:

$\displaystyle \rho : SL(2,\mathbb{C}) \rightarrow GL(V), \hspace{0,3cm} \rho(A)...
...) = A \cdot X \cdot \bar{A}^{t},
\hspace{0,2cm} A \in SL(2,\mathbb{C}), X \in V$

und zeigen, dass $ \rho$ ein Homomorphismus mit $ Ker\rho = \{ \pm E_{2} \}$ und $ Im\ \rho \cong SO^{+}(3,1)$ ist.
  1. $ \rho$ ist wohldefiniert (falls $ X$ hermitesch, dann ist auch $ A \cdot X \cdot \bar{A}^{t}$ hermitesch).
  2. die Homomorphieeigenschaft ist leicht nachzurechnen.
  3. Wir zeigen, dass $ Ker\rho = \{ \pm E_{2} \}.$
  4. Es bleibt noch zu zeigen, dass $ Im\ \rho \cong SO^{+}(3,1)$.
    Nach Aussage 1360 sind die Isometriegruppen $ O(3,1)$ und $ O(V,\sigma)$ der Hermiteschen Räume $ (R^4, h)$ und $ (V, \sigma)$ isomorph zueinander, wobei der zugehörige Isomorphismus $ \mu$ durch die Vorschrift

    $\displaystyle \mu : O(3,1) \to O(V,\sigma), \qquad \psi \mapsto \phi \circ \psi \circ \phi^{-1}$

    mit $ \phi$ von oben gegeben ist. Damit ist die Einschränkung $ \lambda = \mu_{\vert SO^{+}(3,1)}$ der Isomorphismus von $ SO^{+}(3,1)$ nach $ L \le O(V, \sigma)$.
Also gilt nach dem Homomorphiesatz $ SO^{+}(3,1) \cong L = Im \ \rho \cong SL(2,\mathbb{C}) / \{\pm E\}$.

(Autor: Borgart)

Die Matrizen $ R(\alpha)$, $ S(\alpha)$ aus dem Beweis zu (1) erzeugen die Untergruppe $ SU(2)$ von $ SL(2,\mathbb{C})$ und ihre $ \rho$-Bilder erzeugen die zu $ SO(3)$ isomorphe Gruppe. Also ist $ \rho_{\vert \ SU(2)}$ ein Homomorphismus mit dem Kern $ \{ \pm E_{2} \}$ und dem Bild isomorph zu $ SO(3)$. Mit dem Homomorphiesatz folgt die Behauptung.

(Autor: Borgart)

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  automatisch erstellt am 14.11.2008