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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Darstellungen von Gruppen - Grundlagen zur Darstellungstheorie

Invarianter Unterraum/Unterdarstellung

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Sei $ r$ eine Darstellung der Gruppe $ G$ in den Vektorraum $ V$. Ein Untervektorraum $ W \subseteq V$ heißt invariant unter $ r$, wenn $ \forall g \in G$ gilt, dass $ r(g)W \subseteq W$ ist.

Mit $ V$ und $ \{0\}$ besitzt jede Darstellung mindestens zwei invariante Untervektorräume, die sogenannten trivialen, invarianten Unterräume.

Aus der Gleichung $ r(g^{-1})=r(g)^{-1}$ folgt, dass immer $ r(g)W=W$ gelten muss, denn es ist $ W'=r(g^{-1})W \subseteq W$. Insbesondere also auch $ r(g)W' \subseteq r(g)W$ und somit $ W\subseteq r(g)W$.

Betrachtet man $ r'=r\vert _W$, so ist klar, dass es sich dabei wieder um eine Darstellung von $ G$ handelt. Man nennt $ r'$ eine Unterdarstellung von $ r$.

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  automatisch erstellt am 14.11.2008