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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Darstellungen von Gruppen - Young Tableaux

Rahmen

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Für eine Permutation $ \pi$ aus der symmetrischen Gruppe $ S_n$ bezeichne $ \nu_i$ die Anzahl der disjunkten Zykel der Länge $ i$ in $ \pi$. Es gilt dann

$\displaystyle \nu_1 + 2 \nu_2 +...+n \nu_n =n \,.$

Weiter sei

$\displaystyle \lambda_i := \nu_1+...+\nu_i \,. $

die Anzahl der Zykel mit Länge größer gleich gleich $ i$.

$ \lambda$ bezeichnet man als Rahmen. Man kann sich einen Rahmen als eine aus Boxen bestehende 'Tabelle' vorstellen, so dass in der ersten Zeile $ \lambda_1$ Boxen in der zweiten $ \lambda_2$ usw. sind.

Die Anzahl verschiedener Rahmen ist die gleiche wie die der verschiedenen Konjugationsklassen und somit auch wie die der unterschiedlichen irreduziblen Darstellungen von $ S_n$.

Auf der Menge der Rahmen kann via

$\displaystyle \lambda \geq \mu \ \Longleftrightarrow \ \lambda_1+...+\lambda_i \geq \mu_1+...+\mu_i \ \textrm{ für alle }i $

eine Halbordnung definiert werden.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008