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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM II - Mehrdimensionale Analysis

Die mehrdimensionale Substitutionsregel

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Sei folgende Situation gegeben.

Wir wollen die Funktion $ f(x)$ integrieren, und dazu $ x = g(t)$ substituieren. Die genannten Bedingungen an $ g$ besagen hierbei grob gesprochen, daß $ g$ hierzu überall regulär sein soll, ausgenommen möglicherweise auf einer vernachlässigbaren Teilmenge $ N \subseteq M$ .

Es gilt die Substitutionsregel

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x) \, \mathrm{d} x \, = \, \int_M f(g(t)) \vert \det g'(t) \vert \, \mathrm{d} t. $

Wir führen drei wichtige Anwendungen der mehrdimensionalen Substitutionsregel auf.

Polarkoordinaten im $ \mathbb{R}^2$ .

Die Polarkoordinaten $ (r,\varphi)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi)$ eines Punktes $ (x,y)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ sind definiert durch die Gleichungen $ x = r \cos \varphi$ und $ y = r \sin \varphi$ .

Betrachtet man die Polarkoordinatentransformation $ g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ , $ (r,\varphi)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\mathrm{t}$ , so ist $ g$ stetig differenzierbar mit $ \det g'(r,\varphi) = r$ .

Seien $ M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]$ kompakt, $ g(M)$ meßbar und $ f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y) \, \mathrm{d}(x,y) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r \, \mathrm{d}(r,\varphi). $

Wir bemerken, daß in der Anwendung in der Regel zunächst $ g(M)$ gegeben ist, und man sich dazu $ M$ geeignet suchen muß.

Zylinderkoordinaten im $ \mathbb{R}^3$ .

Die Zylinderkoordinaten $ (r,\varphi,z)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi) \times \mathbb{R}$ eines Punktes $ (x,y,z)^\mathrm{t} \in (\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \times \mathbb{R}$ sind definiert durch die Gleichungen $ x = r \cos \varphi$ , $ y = r \sin \varphi$ und $ z = z$ .

Betrachtet man die Zylinderkoordinatentransformation $ g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , $ (r,\varphi,z)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi,z)^\mathrm{t}$ , so ist $ g$ stetig differenzierbar mit $ \det g'(r,\varphi) = r$ .

Seien $ M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]\times\mathbb{R}$ kompakt, $ g(M)$ meßbar und $ f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \mathrm{d}(x,y,z) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, z) r \, \mathrm{d}(r,\varphi,z). $

Kugelkoordinaten im $ \mathbb{R}^3$ .

Die Kugelkoordinaten $ (r,\psi,\varphi)^\mathrm{t} \in (0,\infty)\times [0,\pi) \times [-\pi,\pi)$ eines Punktes $ (x,y,z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ sind definiert durch die Gleichungen $ x = r (\sin \psi) (\cos \varphi)$ , $ y = r (\sin \psi) (\sin \varphi)$ und $ z = r \cos \psi$ .

Betrachtet man die Kugelkoordinatentransformation $ g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ , $ (r,\psi,\varphi)^\mathrm{t} \mapsto (r (\sin \psi) (\cos \varphi), r (\sin \psi) (\sin \varphi), r \cos \psi)^\mathrm{t}$ , so ist $ g$ stetig differenzierbar mit $ \det g'(r,\varphi) = r^2 \sin \psi$ .

Seien $ M \subseteq [0,\infty)\times[0,\pi]\times [-\pi,\pi]$ kompakt, $ g(M)$ meßbar und $ f:g(M) \to \mathbb{R}$ stetig.

Dann gilt

$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \mathrm{d}(x,y,z) \, = \, \int_M f(r (\s... ...si) (\sin \varphi), r \cos \psi) r^2 \sin \psi \, \mathrm{d}(r,\psi,\varphi). $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Beispiele

Aufgaben

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  automatisch erstellt am 16.2.2011